規則性の問題 ｎ進法 第７問 （金蘭千里中学 2009年 入試算数問題）

問題　（金蘭千里中学　2009年　入試算数問題）　難易度★★★★

　あるホテルでは、部屋の番号に「４」の数字を用いません。

１番から順に５部屋があるとすると、部屋番号は、１，２，３，５，６

となります。１３番の部屋の次の部屋は１５番、３９番の次の部屋は

５０番、のようになっています。このとき、次の問に答えなさい。

（１）１６５番の部屋は、１番から数えて何室目ですか。

（２）５００室目の部屋の番号を答えなさい。

（３）部屋の番号に「０」と「４」を用いなかったとしたら、

　　 ５００室目の部屋の番号は何番になるか答えなさい。

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解答

　（１）ｎ進法の問題で、【９進法】となっていますが、

【「４」を用いない９進法】である点が問題です。

まず、ｎ進法を知らない場合の解き方を紹介すると、

番号と、実際の順番を下のように書くと、　　

　０１，０２，０３，０５，０６，０７，０８，０９，１０，

【　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９　　】

　１１，１２，１３，１５，１６，１７，１８，１９，２０，

【 １０　１１　１２　１３　１４　１５　１６　１７　１８　 】

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・１６０

【４０番台と１４０番台がないので、160 は、（１６－２）×９＝１２６】

１６１，１６２，１６３，１６５

【127   128    129    130 】

よって、１６５番の部屋は、１３０室目であることがわかります。

　＜別解＞

９進法であることがわかったとして解いていきます。

まず、「４」がない９進法を、「９」がない普通の９進法に直します。

直すと、下のようになります。

１，２，３，５，６，７，８，９，０

↓ ↓ ↓ ↓ ↓  ↓ ↓ ↓ ↓

１，２，３，４，５， ６，７，８，０

すると、１６５番の部屋というのは、【１５４】ということになり、

１５４を１０進法に直すと、

　　９×９×１＋９×５＋４＝８１＋４５＋４＝１３０ となるので、

１６５番の部屋は、１３０室目とわかります。

　（２）１０進法の５００を９進法に直すと、下の式１のように

　　　　　　　　　

　６１５ に直すことができることがわかります。

これを、「４」のない９進法に直すと、（１）の対応表より、

７１６ ということになるので、５００室目は７１６番の部屋です。

　（３）「０」と「４」を用いないので、【８進法】になります。

１０進法の「５００」を８進法で表すと、下の式２より、

　　　　　　　　　

「７６４｣です。【普通の８進法の「７６４」】を【「０」と「４」を用いない

８進法】で表します。

１，２，３，５，６，７，８，９

↓ ↓ ↓ ↓  ↓ ↓ ↓ ↓

１，２，３，４，５，６，７，０

上の表より、「７６４」は、「８７５」であることがわかります。

よって、５００室目は、８７５番の部屋とわかります。

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