立体図形の体積比 第６問 （甲陽学院中学 2000年 受験問題 算数）
問題 （甲陽学院中学 2000年 受験問題 算数）
難易度★★★★★
同じ大きさの正三角形４枚からできる立体を２つ作り、
Ａ，Ｂとし、下の図１のように、一方の１つの頂点が他方の
正三角形のまん中の点に重なるようにします。
正三角形のまん中の点とは、各頂点からの長さが等しい点を
意味します。また、図１で、Ａ，Ｂの太線で囲まれた面は、たがいに
平行で、真上から見ると重なって見える状態になっています。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）図１で、立体Ａ，Ｂの重なった部分（図の灰色の部分）の体積と
立体Ａの体積の比を答えなさい。
（２）図１の状態から、Ａ，Ｂの太線で囲まれた正三角形のまん中の
点を通る直線を軸として、立体Ａだけを６０度回転させました。
下の図２は、そのときのＡ，Ｂの太線で囲まれた正三角形の
位置を表しています。図２を利用して、このときの立体Ａ，Ｂの
重なった部分の体積と立体Ａの体積の比を答えなさい。
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解答
（１）図１では、下の図３のように三角形ＯＬＭと三角形ＮＰＭが
ＯＬとＰＮが平行で長さが等しいので合同となります。
よって、ＯＭ＝ＭＮ，ＰＭ＝ＭＬで、点Ｍは正三角形の辺の
まん中の点ということがわかります。
すると、下の図４のように、立体ＡとＢの重なった部分の
黄色い三角形は正三角形で、辺ＭＱの長さは、
青い正三角形の１辺の長さの半分ということがわかります。
黄色い正三角形と青い正三角形の相似比が１：２なので、
ＡとＢの重なった部分と、立体Ａの体積比は、
１×１×１×２ ： ２×２×２＝１：４ と求められます。
（２）まず、図２の太線の正三角形と、各面のまん中の点を
結んでみると、下の図５のようになります。
ここで問題となるのが、重なっている部分は、どういう形なのか、
です。
誤りやすい落とし穴として、下の図６のように考えてしまう場合が
あります。
図６は、単に引いた線が交わっただけで、実際の立体は
交わっているわけではありません。よく考える必要があります。
では、どのように交わっているのか、どうすればわかるでしょう。
それにはまず、立体Ａ，Ｂを真上から見た図を理解することです。
下の図７のように、
６０°ずれていることを理解しましょう。
次に考えることは、軸から底面の正三角形の頂点への切り口で、
下の図８の青線の面です。この面は、下の図９のように、
ＯＴとＰＲの交点Ｓで、ＡとＢが交わっていることがわかります。
図７または図８から、ＯＲ：ＰＴ＝１：２ で、ＯＲとＰＴが平行なので、
三角形ＳＯＲと三角形ＳＴＰは、相似比１：２で相似とわかり、
ＯＳ：ＳＴ＝１：２、ＲＳ：ＳＰ＝１：２ ということがわかります。
すなわち、立体ＡとＢの交わる点は、各辺を１：２または２：１に
分ける点であることがわかり、下の図１０のように場所を特定
できるので、各点を結べば下の図１１のようになり、
ＯＳ：ＳＴ＝１：２、ＷＶ：ＶＰ＝２：１、ＯＵ：ＵＮ＝１：２ となる
Ｓ，Ｖ，Ｕなどで、立体ＡとＢは交わることがわかります。
立体ＡとＢの重なった部分は、下の図１２の立体となりますが、
このうち、立体Ｏ－ＵＳＹ、立体Ｐ－ＸＶＺ は、
立体Ａ，Ｂの１辺の長さの３分の１の長さの立体で、
つまり相似比１：３の立体なので、体積比は、
１×１×１：３×３×３＝１：２７ です。
立体Ａの体積 ： （立体Ｏ－ＵＳＹ＋立体Ｐ－ＸＶＺ）の体積＝２７：２
次に、間の立体ＵＳＹ－ＸＶＺについて考えると、
Ａ，Ｗ，Ｖ，Ｓを含む面とＯ，Ｕ，Ｎを含む面が平行なので
ＳＶとＯＵは平行、
同様に、Ｕ，Ｖ，Ｗを含む面とＯ，Ｓ，Ｔを含む面が平行なので
ＵＶとＯＳは平行、ＯＳ＝ＯＵなので、
四角形ＯＵＶＳは、正三角形を２つ合わせたひし形 とわかります。
同様に、すべての面が正三角形であることから、
立体ＵＳＹ－ＸＶＺ は、下の図１３のような三角すい台から
立体Ｏ－ＵＳＹと同じ体積のものを３つ除いた正八面体である
ことがわかります。
上の三角すいは、立体Ａの３分の２なので、立体ＵＳＹ－ＸＶＺは、
立体Ｏ－ＵＳＹが２×２×２－４＝４個分の体積で、
立体ＡとＢの重なった部分の体積と立体Ａの体積の比は、
２＋４：２７＝６：２７＝２：９ とわかります。
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