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2010年9月 6日 (月)

立体図形の表面積 第3問 (立教新座中学 2010年 受験問題 算数)

 

問題 (立教新座中学 2010年 受験問題 算数) 難易度★★★

 下の図1のような、たて12cm、横4cm、高さ2cmの直方体が

10個あります。

     Pic_1809q

これらの直方体を次のように積み重ねたとき、立体の表面積を

求めなさい。

 

(1)図2のように、下から4個、3個、2個、1個と積み重ねた

   立体の表面積を求めなさい。

      Pic_1810q

(2)下の図3のように、(1)の積み重ね方で、1番下の段の

   両はしの直方体2個と、下から3段目の直方体2個を

   横向きに置き直した立体の表面積を求めなさい。

   Pic_1811q

  Pic_1812q

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解答

(1)上下から見た面の面積

     (4+4+4+4)×12×2=4×4×12×2=16×24

   左右から見た面の面積

     12×(2+2+2+2)×2=12×8×2=12×16

   前後から見た面の面積

     2×4×10×2=16×10 

 

よって、表面積は、

  16×24+12×16+16×10=16×(24+12+10)

                      =16×46

                      =16×(50-4)

                      =800-64

                      =736c㎡

 

 (2)数えていくと大変そうなので、いかに工夫するかが

ポイントです。ここでは、全体から重なっている部分を除く方法で

解いてみます。

 

図1の直方体の表面積は、

 2×4×2+2×12×2+12×4×2=160c㎡ で、

直方体が10個あるので、バラバラなときのすべての直方体の

表面積は、160×10=1600c㎡ です。

 

ここから、下の図5の色の付いた部分の面積を除いていきます。

Pic_1813a

一段目と二段目が重なっている青い部分の面積は、

 4×4×2=32c㎡ です。

二段目の横にした直方体同士のつながった緑の部分の面積は、

 2×4×2=16c㎡ で、これは四段目にも2ヶ所あるので、

 16×3=48c㎡ です。

二段目と三段目の重なっている黒い部分の面積は、

 4×(4+4+4)×2=96c㎡ です。

三段目の直方体の重なっている赤い部分の面積は、

 2×12×2=48c㎡ で、これが四段目も含め、3ヶ所あるので、

 48×3=144c㎡ です。

三段目と四段目が重なっている黄色い部分の面積は、

 (4+4)×12×2=192c㎡ です。

三段目と四段目が重なっている紫の部分の面積は、

 4×4×2=32c㎡ です。

 

(2つの面が合わさっているので、×2をすることを忘れないように)

 

よって、図3の立体の表面積は、

 1600-(32+48+96+144+192+32)

=1600-{32+24×(2+4+6+8)+32}

=1600-(64+48×10)

=1600-544

1056c㎡ となります。   

 

 

 立教新座中学の過去問題集は → こちら

 立教新座中学の他の問題は → こちら

 

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