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2010年9月30日 (木)

場合の数 並べ方 第37問 (浅野中学 2010年 受験問題 算数)

 

問題 (浅野中学 2010年 受験問題 算数) 難易度★★★

 A,B,C という3種類の文字を左から順にならべます。

同じ文字を何度使ってもかまいません。ただし、Aの右どなりは

必ずC で、Bの右どなりも必ずC であるものとします。

 この規則を満たすならべ方は、左から1個だけをならべる

場合は、A,B,C の3通りで、左から2個ならべる場合は、

AC,BC,CA,CB,CC の5通り となります。

 このとき、次の問に答えなさい。

 

 (1)左から3個ならべる場合のならべ方は何通りですか。

 (2)左から4個ならべる場合のならべ方は何通りですか。

 (3)左から7個ならべる場合のならべ方は何通りですか。

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解答

 (1)一番左がAのとき、その右どなりは必ずCで、

Cのとなりは、A,B,C の3通り 考えられるので、

 ACA,ACB,ACC3通り あります。

 

一番左がBのとき、その右どなりは必ずCで、

Cのとなりは、A,B,C の3通り 考えられるので、

 BCA,BCB,BCC3通り あります。

 

一番左がCのとき、その右どなりはA,B,C のどれでもよく、

 CA●、CB■、CC▲ のようになります。

このとき、●、■は、A,Bの右どなりなので、Cが入り、

▲には、A,B,C の3通り が考えられ、

 CAC,CBC,CCA,CCB,CCC5通り あります。

 

よって、左から3個ならべる場合のならべ方は、

 3+3+5=11通り です。

 

 (2) (1)の11通りのうち

一番右がA のものは、ACA,BCA,CCA の3通り

一番右がB のものは、ACB,BCB,CCB の3通り

一番右がC のものは、残りの5通り あります。

 

一番右がA,B の6通りのものは、4個目をならべるとき、

A,Bの右どなりがC になるだけで、ならべ方は6通りのままです。

 

一番右がC のものは、C の右どなりに、A,B,C の3通り の

文字がつくので、4個目をならべると、5×3=15通り

ならび方になります。

 

よって、左から4個ならべるならべ方は、

 6+15=21通り です。

 

 (3)(2)の4個ならべる場合のならべ方21通りのうち、

一番右がA または B のものは、10通り で、

一番右がC のものは、残りの11通り です。

 

(2)と同様に、左から5個目の文字をならべると、ならべ方は、

 10+11×3=43通り です。

 

6個目の文字をならべるときのならべ方を考えると、

5個目の文字をならべたときに、

 一番右がA または B のものは、11×2=22通り で、

 一番右がC のものは、43-22=21通り です。

 

よって、左から6個の文字をならべる場合のならべ方は、

 22+21×3=85通り です。

 

7個目の文字をならべるときのならべ方を考えると、

左から6個の文字をならべたとき、

 一番右がA または B のものは、21×2=42通り で、

 一番右がC のものは、85-42=43通り です。

 

よって、左から7個の文字をならべるならべ方は、

 42+43×3=171通り です。

 

一番右の数がA,B,C のものが何通りあるのかを

ならべた文字数によって表にすると、下の表のようになります。

Pic_1888a

7個まで文字をならべたならべ方のうち、

一番右がA または B のものは、43×2=86通り で、

一番左がC のものは、171-86=85通り となり、

表の数と一致します。

 

このような表を作れば、求めやすくなることでしょう。

 

 

 浅野中学の過去問題集は → こちら

 浅野中学の他の問題は → こちら

 

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