数の性質 第５７問 （奈良学園中学 2009年（平成21年度） 受験問題 算数）

問題　（奈良学園中学　2009年　受験問題　算数）　

　　　　 難易度★★★★★

　【□/△】は、□÷△を計算して小数点以下を切り捨てた数を

表すものとします。

　たとえば、【５/３】＝１、【１２/５】＝２、などのようになります。

　このとき、次の問に答えなさい。

（１） 【2009/43】、【2009/44】、【2009/45】を計算して求めなさい。

（２） 2009/□　の□に、１から２００９までの2009異なる個の

　　　数をあてはめたとき、整数になるものは何個ありますか。

（３） 【2009/□】 の□に、１から２００９までの異なる2009個の

　　　数をあてはめたとき、異なる整数は何個できますか。

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解答

　（１）それぞれ計算すると、

　【2009/43】　：　2009÷43＝46.72・・・ より、４６

　【2009/44】　：　2009÷44＝45.65・・・ より、４５

　【2009/45】　：　2009÷45＝44.64・・・ より、４４

となります。

　（２）１から２００９までの整数のうち、２００９の約数の数を

調べます。

２００９を因数分解すると、

　  ２００９＝７×２８７＝７×７×４１ なので、

２００９の約数は、

　１、７、４１、７×７、７×４１、７×７×４１ の６個 なので、

2009/□ の□に１から2009までの数をあてはめて整数に

なるのは、６個 です。

　（３）かけ算の考え方の問題です。

２００９＝１×２００９ なので、【2009/□】の□に

１を入れると2009で、2009を入れると１です。

２００９＝２×１００４．５ なので、【2009/□】の□に

２を入れると1004で、1004を入れると２です。

２００９＝３×（２００９÷３） なので、【2009/□】の□に

３を入れると６６９で、６６９を入れると３です。

このように、１から順に□に数をあてはめていって、

　１　　→　２００９

　２　　→　１００４

　３　　→　 ６６９

　４　　→　？？

・・・・・・・・・・・・・・・

　△　　→　▲

　▲　　→　△

・・・・・・・・・・・・・・・

１００４　→　２

１００５　→　１

・・・・・・・・・・・・・・・

２００８　→　１

２００９　→　１

どこか逆転する（△のとき▲で、次の▲のとき△）ところが

できます。

ここで、（１）より、

　□＝４４のとき、【2009/44】＝４５

　□＝４５のとき、【2009/45】＝４４

なので、下の図のように、

４４と４５のところ数が逆転し、【2009/□】は、

　４４＋４４＝８８個 できることがわかります。

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