立体図形の体積 第２１問 （海城中学 2009年（平成21年度） 入試問題 算数）

問題　（海城中学　2009年　入試問題　算数）　難易度★★★★★

　１辺６ｃｍの立方体７個と、直角をはさむ２辺の長さが６ｃｍの

直角二等辺三角形を底面として高さ６ｃｍの三角柱１２個を使い

下の図のような立体を組み立てました。

　　　　　

このとき、次の問に答えなさい。

（１）この立体の体積を求めなさい。

この立体と同じ形、同じ大きさ、同じ置き方の空の水そうを用意し、

毎分１８ｃ㎥  で水を入れていきます。

（２）水面の高さが３ｃｍになるのは何秒後ですか。

（３）水面の高さが８ｃｍになるのは何秒後ですか。

（４）１４４秒後の水面の高さを答えなさい。

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解答

　（１）１辺６ｃｍの立方体の体積は、６×６×６＝２１６ｃ㎥

直角をはさむ２辺が６ｃｍの直角二等辺三角形を底面とする

高さ６ｃｍの三角柱の体積は、

　６×６÷２×６＝１０８ｃ㎥

なので、この立体の体積は、

　２１６×７＋１０８×１２＝２１６×（７＋６）＝２８０８ｃ㎥

となります。

　（２）水面が高さ３ｃｍのとき、水の体積は、

　立方体１個の部分　→　６×６×３＝１０８ｃ㎥

　三角柱４個の部分　→　３×３÷２×６×４＝１０８ｃ㎥

水が毎分１８ｃ㎥ 入ってくるので、水面の高さが３ｃｍになるのは、

　（１０８＋１０８）÷１８＝１２秒後 です。

　（３）水面の高さが８ｃｍのときの水の体積は、

まん中の部分が下の図１のようになっていることから、

　　　　　

一番下の部分　→　６×６×６＋６×６÷２×６×４＝６×６×６×３

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝６４８ｃ㎥

まん中の部分（高さ２ｃｍ）　→　６×６×２×５＋６×６÷２×２×４

　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝３６×１４ｃ㎥

よって、水面の高さが８ｃｍになるのは、

　（６×６×６×３＋３６×１４）÷１８

＝１８×（３６＋２８）÷１８＝６４秒後 です。

　（４）まん中の部分がすべて水で満たされるのは、

　（６４８＋６×６×６×５＋６×６÷２×６×４）÷１８

　＝（１８×６×６＋６×６×６×７）÷１８

　＝３６＋８４＝１２０秒後

なので、１４４秒後には一番上の部分に水が入っていることに

なります。

（一番上の部分と一番下の部分は体積が等しいので

６４８÷１８＝３６秒 かかり、１２０＋３６＝１５６秒後に

水があふれることがわかります）

１４４－１２０＝２４秒間に入る水の体積は、

　　１８×２４＝４３２ｃ㎥ です。

４３２ｃ㎥ の水が下の図２のように入っているので、

　　

一番上の部分の水の高さを□ｃｍとすると、下の図３のように

　　　　　　

台形状に水が入っているので、水の体積は、

　６×６×□＋｛（６－□）＋６｝×□÷２×６×４＝４３２

なので、

　３×□＋（１２－□）×□＝３６

という式になり、この式は小学生では解くことができません。

発想を変える必要があります。

　　　　　　　　そこで、秒数に注目します。

１２０秒でまん中の部分が水で満たされ、１５６秒後に

すべての部分が水で満たされます。

求めるのは、１４４秒後に水がどの高さにあるかです。

あらためて、下の図４を見てみますが、このとき（２）を思い出すと、

図５は（２）の状態を表したものです。

図４と図５を比べてみると、同じ１２秒ですから、

上から水が入ろうが、下から水が上がってこようが、

入る水の体積は等しくなっています。

すなわち、図４の水面の高さは、上から３ｃｍのところである

とわかります。

よって、１４４秒後の水面の高さは、

　１２＋（６－３）＝１５ｃｍ のところになります。

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