立体図形の体積 第２２問 （白百合学園中学 2008年（平成20年度） 入試問題 算数）

問題　（白百合学園中学　2008年　入試問題　算数）　

　　　　 難易度★★★★

　容積の異なる２つの円柱型の水そうＡ、Ｂがあります。

水そうＢは水そうＡより底面積も高さも大きいことがわかって

います。水そうＡの高さは１０ｃｍです。水そうＡちょうど１杯分

の水を水そうＢへ入れたところ、水そうＢの５．５ｃｍの高さまで

水が入りました。このとき、次の問に答えなさい。

（１）上の状態から水そうＢに入っている水を少しずつ水そうＡに

　　 移して、水の高さを同じにしました。このとき水の高さは何ｃｍ

　　 になりますか。分数で答えなさい。

（２）再び、水そうＡに入っている水を水そうＢにすべて戻し、

　　 水の入っている水そうＢに、下の図のように水そうＡを

　　 沈めていきました。底がつくまで沈めたとき、水そうＡには

　　 高さ何ｃｍまで水が入りますか。分数で答えなさい。

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解答

　（１）水そうＡの底面積をＡ、水そうＢの底面積をＢ とします。

水そうＡちょうど１杯分の水が、水そうＢ５．５ｃｍ分の水なので、

　 Ａ×１０＝Ｂ×５．５ という体積の式ができます。

よって、Ａ：Ｂ＝５．５：１０ ということがわかります。

次に、水そうＡ，Ｂ共に同じ水の高さにしたとき、□ｃｍとすると、

　水そうＡの水の体積は、Ａ×□

　 水そうＢの水の体積は、Ｂ×□ 　

なので、水そうＡ，Ｂに入っている水の体積比は、

　 Ａ×□：Ｂ×□＝Ａ：Ｂ＝５．５ ： １０ です。

水そうに入っている同じ高さの水の体積比＝底面積比

というのは基本です。

すべての水の量は、Ａ×１０ｃ㎥ で、下の図１のように

この水を５．５：１０ に分けた水が水そうＡ，Ｂに入っているので、

　　

水そうＡで考えると、入っている水の高さは、

　１０÷（１０＋５．５）×５．５＝１１０/３１＝３と１７/３１（ｃｍ）

となります。

　（２）Ｂの水の高さは５．５ｃｍで、水そうＡとＢの底面積比は

５．５：１０です。

下の図２のように、水そうＡを水そうＢの底につくまで沈めると、

水そうＡが入った分だけ、水の高さが増えます。

水の高さが増えて、水そうＡの高さ（１０ｃｍ）より高くなると、

その分（図２の黄色い部分）が水そうＡの中に入ります。

　　　　　　

水そうＡの底面積を【５．５】とすると、水そうＢの残りの部分は

【１０】－【５．５】＝【４．５】となります。

水そうＡが入ったことで、増える水の高さは、

　【５．５】×５．５ｃｍ÷【４．５】＝５．５×１１/９ （ｃｍ）です。

これが、１０ｃｍ－５．５ｃｍ＝４．５ｃｍより高ければ、

水そうＡに水が入ります。

図２の黄色い部分の高さは、

　５．５×１１/９－４．５ （ｃｍ） で、

図２の黄色い部分の体積は、

　（５．５×１１/９－４．５）×【４．５】 （ｃ㎥） で、

この体積が水そうＡに入るので、そのときの水そうＡの水の高さは、

　（５．５×１１/９－４．５）×【４．５】÷【５．５】

＝（５．５×１１/９－４．５）×９/１１

＝５．５－４．５×９/１１

＝（５．５×１１－４．５×９）÷１１

＝２０/１１＝１と９/１１（ｃｍ） と求められます。

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