影の映り方 第３問 （開成中学 2008年 受験問題 算数）

問題　（開成中学　2008年　受験問題　算数）　難易度★★★★

　下の図のように、水平な地面に直方体のコンクリートブロックと、

地点Ａから垂直に立つ街灯があります。街頭に灯りがついたとき

地面にできる影の部分（コンクリートブロックの置いてある地面は

のぞく）の面積を求めなさい。

　　　　

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解答

　まず下の図１のように、街灯Ｏからの光は点Ｄを通り点Ｂに届き、

　　

三角形ＯＡＢと三角形ＤＣＢが相似で、ＯＡ＝９ｍ、ＤＣ＝３ｍより、

２つの三角形の相似比は、３：１なので、

　　　　　ＢＣのの長さは、（３＋６．６）÷２＝４．８ｍ とわかります。

次に下の図２のように、街灯Ｏから出た光は点Ｅを通り点Ｆに届き、

ここで、上から見た図のように、三角形ＯＤＥと三角形ＯＢＦは

相似となり、図１より、ＯＤ：ＯＢ＝２：３で、ＤＥ＝４ｍであることから、

　　　　　ＢＦ＝４÷２×３＝６ｍ ということがわかります。

さらに、下の図３のように、街灯Ｏから出て点Ｇを通った光は、

点Ｈに届きますが、

　

三角形ＯＧＥと三角形ＯＨＦが相似となり、ＧＥ＝６．６ｍ、

図２より、ＯＥ：ＯＦ＝２：３ であるので、

　　　　ＨＦ＝６．６÷２×３＝９．９ｍ とわかります。

また、ＯＨは点Ｇを通るので、ＡＨが点 Ｉ を通ることも理解できます。

ここまでのことから、街灯Ｏの光によって作られる影は、

下の図４のようになり、

影の面積は、

　６×４．８＋｛（９．９－４．８）＋６．６｝×２÷２＝４０．５㎡

と求められます。

　＜別解＞

　上の解答を理解した上で、

図１より、ＢＣ＝４．８ｍ、ＡＣ：ＡＢ＝２：３ ということを求めた後、

街灯Ｏからの立体的な三角形ではなく、地面上の点Ａからの

平面間な三角形の相似を求めることで、影の面積を求めることが

できるようになります。

　すなわち、下の図５のように、点Ｂを基点として　

　

三角形ＡＣＪと相似となるような三角形ＡＢＦを求め、

三角形Ａ Ｉ Ｊと相似となるような三角形ＡＨＦを求めれば

それぞれの長さが求まり、影の面積４０．５㎡ を得られます。

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