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2010年9月13日 (月)

規則性の問題 操作 第15問 (慶應義塾湘南藤沢中等部 2006年 入試算数問題)

 

問題 (慶應義塾湘南藤沢中等部 2006年 入試算数問題) 

     難易度★★★★

 

 1から16の番号が書かれた16枚のパネルが図1のように

ならんでいます。

         Pic_1829q

ひとつひとつのパネルは、次のような仕組みでランプが点灯する

ようになっています。

 

【1】ランプは、ついているか消えているかのどちらかです。

   番号に○がついているパネルは、ランプがついていることを

   示すこととします。

【2】ひとつのパネルにふれると、それを含むたてと横の列にある

   すべてのランプが、ついているものは消え、消えているものは

   つく。

 

たとえば、下の図2の状態で、7番のパネルにふれると、

図3のようになります。

 Pic_1830q

このとき、次の問に答えなさい。   

 

(1)図1を最初の状態として、1から5まで順にパネルに

   ふれたとき、最後にランプがついている番号を答えなさい。

(2)図1を最初の状態として、1,2,3,・・・の順にパネルに

   ふれていくと、下の図4のような状態になりました。

   何番のパネルまでふれたか答えなさい。

         Pic_1831q

(3)図2を最初の状態として、1,3,5,・・・,15の順に

   奇数番号のパネルにふれたとき、最後にランプがついている

   パネルの番号を答えなさい。

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解答

 (1)正確さを求められる問題です。

1から順にパネルにふれていったとして、ランプがどのように

点灯していくのか調べると、1から順に下の図5~9のように

なります。

Pic_1832a

よって、1から5までふれると、

  「1,10,11,12,14,15,16

が最後についていることがわかります。

 

 

 (2) (1)で5まで調べたので、6以降を調べると、

Pic_1833a

徐々にコツをつかむことができ、11,12とふれていくと

図15のように、下一列だけ残ることがわかります。

  

13以降を調べると、下の図15~のようになり、

Pic_1834a

図18が図4と同じとなるので、15番のパネルまでふれたと

わかります。 

  

 

 (3)図2から、1,3,5,・・・,15の順に奇数番号のパネルに

ふれるとどうなるか調べると、下の図19~25のようになり、

Pic_1835a

図25のあとで、「15」のパネルにふれると、下の図26のように

         Pic_1836a

5,6,7,8,13,14,15,16」のパネルが点灯している

ことがわかります。

 

 

 

 <別解>

問題のランプがつく、消えるを、オセロとして置きかえると、

表(ランプつく)、裏(ランプ消える)が何回あるかを数えれば

よいという発想に行き着きます。

 

 (1)1から5まで順にパネルにふれる(オセロをひっくり返す)と

最後にランプがついている(オセロが表)なのは、どれか考えると、

最初すべてが裏なので、1回ひっくり返ると表に、2回ひっくり返ると

裏にもどります。

 

すなわち、下の図27のように、奇数回ひっくり返ると表(点灯)に、

偶数回ひっくり返ると裏(消灯)になり、ひっくり返す回数を数えて、

       Pic_1837a

最後に表(ランプ点灯)になっているのは、

  「1,10,11,12,14,15,16

とわかります。 

 

 

 (2) (1)以降調べると、まず「8」までオセロをひっくり返すと

考えると、下の図28のようになり、図12と等しくなります。

      Pic_1838a

実際には、「正」の字を書いて回数を調べるとよいでしょう。

 

以降続けて、1,2,3,5,6,7,9,10,11が奇数回、

4,8,12,13,14,15,16が偶数回となるものを調べると、

15」のところで、下の図31のようになり、図4と等しくなります。

Pic_1839a

 

 

 (3)1,3,5,7,9,11,13,15のオセロにふれたとき、

すべてのオセロが何回ひっくり返るか調べると、下の図33の

ようになり、図33と図2の表になっているものを合わせ、

Pic_1840a

図34のような回数を求めることで、図26の解答を得ることが

できます。

 

 

 慶應義塾湘南藤沢中等部の過去問題集は → こちら

 慶應義塾湘南藤沢中等部の他の問題は → こちら

 

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