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2010年9月20日 (月)

場合の数 図形の選び方 第11問 (市川中学 2006年 受験問題 算数)

 

問題 (市川中学 2006年 受験問題 算数) 難易度★★★

 図のように、同じ大きさの4つの円が点A,B,C,Dでぴったり

くっついています。

       Pic_1004q

この4点を基準として円周を4等分する点をE,F,G,H,I,J,K,L

とします。このとき次の問に答えなさい。

 

 (1)点AからL から4点を選び、それらを頂点とする四角形を

    作ります。そのとき正方形は何個できますか。

 (2)(1)でできた正方形のうち、もっとも大きい正方形の面積は

    もっとも小さい正方形の面積の何倍ですか。

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解答

 (1)まず、下の図1のような正方形が考えられます。

   Pic_1005a

四角形AEFB,四角形BCHG、四角形CDJI、四角形ADKL、

四角形ABCD の5つがこれと同じになります。

 

次に、下の図2の正方形が考えられます。

   Pic_1006a

四角形EGIK、四角形FHJL の2つが同じ正方形となります。

 

さらに、下の図3のような正方形が考えられます。

   Pic_1007a

四角形BDLE、四角形ACGF、四角形BDIH、四角形ACJKの

4つが同じ正方形となります。

 

他に正方形を見つけることはできないので、

5+2+4=11個 の正方形ができるということになります。

 

 (2) できる正方形は3種類あり、このうち面積のもっとも大きい

正方形は、図2の正方形で、面積のもっとも小さい正方形は

図1の正方形となります。

 

正方形ABCDと正方形EGIKを比べると、下の図4のようになり、

   Pic_1008a

円の半径の長さを1cmとすると、正方形ABCDの面積は

 2×2÷2=2c㎡ となり、

正方形EGIKの面積は

 1×3÷2×4+2×2=10c㎡ となるので、

面積は10÷2=5倍 となります。

 

 

 市川中学の過去問題集は → こちら

 市川中学の他の問題は → こちら  

 

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