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2010年9月14日 (火)

点の移動 第14問 (聖光学院中学 2005年(平成17年度) 入試問題 算数)

 

問題 (聖光学院中学 2005年 入試問題 算数) 難易度★★★

 

 1辺の長さが10cmの正方形ABCDがあります。3点P,Q,Rが

下の図1のように、それぞれ頂点A,B,Cを出発して、正方形の

辺上を反時計回りに進んで行きます。辺AB,BC,CD上では

毎秒1cmの速さで、辺DA上では毎秒2cmの速さで進みます。

 このとき、次の問に答えなさい。

      Pic_1841q

(1)123秒後の三角形PQRの面積を求めなさい。

(2)点P,Q,Rが下の図2のような位置にきたとき、台形PRCDの

   面積が30c㎡ になりました。このとき、三角形PQRの面積を

   求めなさい。

      Pic_1842q

(3)点P,Q,Rのどれもが頂点に重ならないとき、三角形PQRの

   面積は正方形ABCDの面積の半分より必ず小さくなります。

   このことを下の図3の場合について説明しなさい。

    ただし、点Qから辺ADに対して平行な直線を引き、辺DC

   との交点をSとするときにできる四角形PQRSを用いなさい。

      Pic_1843q

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解答

 (1)点P,Q,Rが正方形ABCDの周囲を一周するのに

かかる時間は、

 10+10+10+10÷2=35秒 です。

 

すなわち、35秒ごとに最初の位置(頂点A,B,C上)にもどり、

35秒後、70秒後、35×3=105秒後、35×4=140秒後 が

同じ位置なので、123秒後は、123-105=18 より、

求める面積は、最初から18秒後の三角形PQRの面積と等しい

ことがわかります。

 

18秒後の位置は、点P,Qは18cm進んだところ、

点Rは、辺DAを5秒で移動するので、頂点Aから3cmのところで、

下の図4のような位置になります。

    Pic_1844a

よって、三角形PQRの面積は、

 10×10-{8×7÷2+2×8÷2+(3+2)×10÷2}

=100-(56+16+50)÷2

39c㎡ です。

 

 (2)図4から点P,Q,Rを移動させていき、図2に近くなる図形を

調べると、下の図5のようになります。

     Pic_1845a

このとき、点Pは頂点Dにあり、点Q,Rはそれぞれ辺のまん中に

あります。 

  

台形PRCDの面積が30c㎡ となるのは

PD+RC=6cm のときです。(6×10÷2=30)

 

図5から、点Pは毎秒2cm、点Rは毎秒1cmで動くので、

1秒につき1cmずつ、PD+RCは長くなります

図5のとき、PD+RC=5cmなので、

PD+RC=6cmになるのは、(6-5)÷1=1秒後 で、

図5から1秒後は、下の図6のようになり、

     Pic_1846a

三角形PQRの面積は、

 100-(30+4×6÷2+6×8÷2)=34c㎡ です。

 

 (3)まず図3において、

三角形PQRの面積は、四角形PQRSより小さいことがわかります。

 

次に、四角形PQRSは、下の図7のように三角形PQS、QRSに

分けることができ、

      Pic_1847a

三角形PQSの面積は、長方形AQSDの面積の半分、

三角形QRSの面積は、長方形QBCSの面積の半分

ということから、

 四角形PQRSの面積は、正方形ABCDの面積の半分 とわかり、

 四角形PQRSの面積より三角形PQRの面積は小さいので、

三角形PQRの面積は、正方形ABCDの面積の半分より必ず

小さくなることになります。

 

 

 聖光学院中学の過去問題集は → こちら

 聖光学院中学の他の問題は → こちら

 

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