« 図形の回転 第13問 (立教新座中学 2009年(平成21年度) 受験問題 算数) | トップページ | 立体図形の体積 第19問 (女子学院中学 2009年(平成21年度) 受験問題 算数) »

2010年8月13日 (金)

立体図形の体積 第18問 (土佐中学 2009年(平成21年度) 算数受験問題)

 

問題 (土佐中学 2009年 算数受験問題) 難易度★★★★★

 下の図のように、底面の2辺の長さが6cm、4cmで高さ7cmの

水そうに、1辺3cmの立方体を沈めます。立方体の各面の中央は

1辺1cmの正方形の大きさの穴が反対側までまっすぐにあいて

います。

 Pic_1771q

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)最初、水そうに高さ4cmまで水が入っていたとき、立方体を

   沈めたあとの水面の高さは何cmになりますか。

 

(2)最初、水そうに高さ1.8cmまで水が入っていたとき、

   立方体を沈めたあとの水面の高さは何cmになりますか。

 

(3)立方体を沈めると、水面の高さが0.8cmあがりました。

   このとき、立方体を沈める前の水面の高さを求めなさい。

----------------------------------------------

----------------------------------------------

解答

 (1)最初の水面の高さ4cmは、立方体の高さ3cmより高いので

立方体は完全に水そうに沈むことになります。

 

よって、あがる水面の高さは、立方体の体積に等しいことになり、

立方体の体積は、下の図1のようにくりぬかれているので、

     Pic_1772a

 3×3×3-(1×1×1×5-1×1×1×2)=20c㎥ で、

 水そうの底面積=6×4=24c㎡ より、

あがる水面の高さは、

 20÷24=5/6 (cm) とわかるので、

水面の高さは、

 4+5/6=4と5/6 (cm) となります。

 

 

 (2)最初の水そうの水面の高さ1.8cmは、立方体の1辺の

長さよりも短いので、立方体が完全に沈むのかわかりません。

 

立方体が完全に沈むのは、(1)より、最初の水面の高さが

 3-5/6=2と1/6 (cm) 以上のときなので、

最初の水面の高さが1.8cm のときは、完全には沈みません。

 

立方体を高さ1cmずつ区切って水そうに沈めることを

考えます。(1cmずつ体積が異なるので)

 

まず、水面の高さ1.8cmのところに、高さ1cmの部分までは

完全に沈みます。その体積は、3×3×1-1×1×1=8c㎥

なので、あがる水面の高さは、

 8÷24=1/3 (cm)=0.33・・・(cm)です。

1.8+0.33・・・=2.133・・・ となるので、下の図2のように

Pic_1773a_3

2段目の部分は、2と1/3 -1=1と1/3(cm)の高さの水の中に

完全に沈むことがわかります。

 

2段目の体積は、4c㎥ なので、あがる水面の高さは、

 4÷24=1/6 (cm) なので、

2段目まで沈めたときの水面の高さは、

 1.8+1/3+1/6 =2.3cm です。

 

最後の3段目は、体積8c㎥ です。すでに2段目まで沈めたので、

3段目を水面の高さが

 2.3-2=0.3cm の水そうに入れることを考えます。

 

0.3cmの水の中に沈んだ体積は、3段目以外の上がった水の

体積と等しいので、下の図3のように、上がった水面の高さを□cm

とすると、

  Pic_1774a_2

 0.3×8=(24-8)×□ より、

 □=0.15cm と求められます。

 

よって、立方体をすべて水そうに入れたときの水面の高さは、

 2.3+0.15=2.45cm となります。

 

 

 (3) (1)、(2)より、

 立方体すべて沈めると・・・5/6cm=0.83・・cm 水面上がる

 2段目まで沈めると・・・2.3-1.8=0.5cm 水面上がる

ということがわかっているので、

 0.8cm 水面の高さが上がった後の水面は、下の図4のように

2段目と3段目の間ということになります。

    Pic_1775a_2

 2段目まで入れると0.5cm水面の高さが上がるので、

3段目を入れて、0.8-0.5=0.3cm 水面の高さが

上がるのがどのようなときか調べます。

 

 下の図5のように、3段目だけ考えると、

  Pic_1776a

3段目を沈める前に、2段目より上の水面の高さを□cmとすると、

3段目の底面積=8c㎡ 、水そうの底面積=24c㎡ なので、

  0.3×(24-8)=□×8 より、□=0.6cm

と求められます。

 

すなわち、2段目を沈めたときの水面の高さは、

 2+0.6=2.6cm で、

2段目まで沈めると水面の高さが0.5cmあがるので

最初の水面の高さは、

 2.6-0.5=2.1cm とわかります。 

 

 

 土佐中学の他の問題は → こちら

  

にほんブログ村 受験ブログ 中学受験へ     ←中学受験に関する情報満載!
にほんブログ村    ランキング参加中です。

 

Tb_2←イメージでわかる中学受験算数

|

« 図形の回転 第13問 (立教新座中学 2009年(平成21年度) 受験問題 算数) | トップページ | 立体図形の体積 第19問 (女子学院中学 2009年(平成21年度) 受験問題 算数) »

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック


この記事へのトラックバック一覧です: 立体図形の体積 第18問 (土佐中学 2009年(平成21年度) 算数受験問題):

« 図形の回転 第13問 (立教新座中学 2009年(平成21年度) 受験問題 算数) | トップページ | 立体図形の体積 第19問 (女子学院中学 2009年(平成21年度) 受験問題 算数) »