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2010年8月20日 (金)

図形の回転 第14問 (奈良学園中学 2009年(平成21年度) 入試問題 算数)

 

問題 (奈良学園中学 2009年 入試問題 算数) 難易度★★★★★

 1辺4cmの立方体の各面の中心の点を結んで立体Aを作ります。

下の図1は、立体Aの1つの面を表しています。

       Pic_1782q

このとき、次の問に答なさい。

 

(1)立体Aの面の数を答えなさい。

 

円形の穴の開いた板を用意し、その穴に立体Aを回転させずに

通します。次のとき、穴の面積は最低何c㎡必要か答えなさい。

なお、必要ならば、1辺1cmの正三角形の3つの頂点を通る

円の面積が、半径1cmの円の面積の3分の1であることを

用いなさい。また、円周率は3.14とします。

 

(2)(ア)元の立方体の面と板が平行になるように立体Aを

     通すとき

   (イ)立体Aの面と板が平行になるように穴を通すとき

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解答

 (1)立方体の各面の中心を結んでできる立体Aは、

正八面体と呼ばれるもので、下の図1のように「8面

あります。

       Pic_1783a_2

(2)(ア) 板の穴に立方体の面と平行に立体Aを通すとき、

穴を通る最も大きい部分は、図1の正方形ABCDで、

穴を通る図は、下の図2のようになります。

    Pic_1784a

この穴の面積は、半径2cmの円の面積で、

 2×2×3.14=12.56c㎡ です。

 

 

 (2)(イ) 図1の三角形ABE,CDFの面を真上から見ると、

下の図3のように見ることができます。

   Pic_1785a

AC,BD,EFの交点をOとすると、Oを中心として

下の図4のように円を描くことができます。

(Oを通り三角形ABE、CDFをつらぬく直線を軸として

  立体Aを回転させることでできる円です)

      Pic_1786a

板と三角形ABE,CDFが平行な状態で穴を通すときに必要な

最小の面積の円は、この6点AFBCEDが通る円です。

 

六角形AFBCEDは正六角形なので、

この円の面積は、問題文の条件から、辺ABの長さを

半径とする円の面積の3分の1ということになります。

 

図2より、ABの長さを□cmとすると、

  □×□÷2=4×4÷4

なので、□×□=8 です。

 

よって、求める円の面積は、

 □×□×3.14÷3=25.12÷3

              =8と28/75 c㎡ となります。 

 

 

 奈良学園中学の過去問題集は → こちら

 奈良学園中学の他の問題は → こちら

 

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