数の性質 第５２問 （青雲中学 2008年（平成20年度） 入試算数問題）

問題　（青雲中学　2008年　入試算数問題）　難易度★★★

　０，１，２，３，４，５，６，７，８，９ の数字がそれぞれ１つずつ

書かれたカードがたくさんあります。これらを使って、１から始まる

整数を１，２，３，・・・の順に作っていきます。

　たとえば、「１０」は「１」と「０」の２枚のカードを、「１００」は

「１」と「０」と「０」の３枚のカードを使います。

　このとき、次の問に答なさい。

（１）１から５００までの整数を作ります。

　　 （ア）使ったカードは全部で何枚ですか。

　　 （イ）その中に含まれる「５」のカードは何枚ですか。

（２）１からある数まで作るのに、カードを全部で１９２６枚

　　 使いました。最後に作られた数を答えなさい。

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解答

　（１）（ア）１けた、２けた、３けたの数で分けて考えると、

　 １けたの数・・・１～９までの９枚

　 ２けたの数・・・１０～９９まで、９９－９＝９０個 あるので、

　　　　　　　　　　 使うカードは、９０×２＝１８０枚

　 ３けたの数・・・１００～５００まで、５００－９９＝４０１個で、

　　　　　　　　　　 使うカードは、４０１×３＝１２０３枚

よって、使ったカードは全部で、

　９＋１８０＋１２０３＝１３９２枚 です。

　（１）（イ）使われている「５」のカードの枚数を調べますが、

今回は、一の位、十の位、百の位の「５」について分けて考えます。

一の位の「５」は、

　０５、１５、２５、・・・、４９５ まで、４９＋１＝５０個 あります。

十の位の「５」は、

　５０、５１、・・・、５９、１５０、１５１、・・・、１５９、２５０、・・・、４５９

まで、１０×（４＋１）＝５０個 あります。

百の位の「５」は、

　５００　の１個だけです。

よって、１から５００までの数を作るときに使う「５」のカードは、

　５０＋５０＋１＝１０１枚 です。

　（２） （１）より、１けたの数・・・９枚、２けたの数・・・１８０枚 の

カードを使うことがわかっています。

　続けて、３けたの数に使われるカードの枚数を調べると、

１００～９９９まで、９９９－９９＝９００個 の数があるので、

　９００×３＝２７００枚 より、

カードを１９２６枚目まで使ってできる数は、３けたの整数である

ことがわかります。

１けたと２けたの数に使うカードを１９２６枚からのぞくと、

　１９２６－（９＋１８０）＝１７３７枚 となります。

残りは３けたの数なので、それぞれ３枚のカードを使うので、

　１７３７÷３＝５７９個　の３けたの数を作ることができます。

よって、１００から数えて５７９番目の数が最後の数に

なるので、１番目・・・１００、２番目・・・１０１、・・・

５７９番目・・・５７９＋９９＝６７８ が最後の数とわかります。　

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