点の移動 第１３問 （開成中学 2008年（平成20年度） 入試問題 算数）

問題　（開成中学　2008年　入試問題　算数）　難易度★★★★

１辺５ｃｍの正五角形ＡＢＣＤＥがあります。下の図１のように

正五角形の各頂点、およびそれぞれの辺に頂点から１ｃｍずつ

印がついています。いま、２５個ある印のうち、点Ｅ には黒丸を

置き、それ以外の５ヶ所に白丸を置きます。

　

白丸は正五角形の周上を反時計回りに秒速１ｃｍで動きます。

また、黒丸は正五角形の対角線上をＥ → Ｂ → Ｄ → Ａ → Ｃ →

Ｅ → Ｂ → ・・・ の順で３秒ごとに次の頂点に着くように、一定の

速さで動きます。

黒丸と白丸が同時に動き出し、黒丸と白丸が重なると、その白丸が

消えます。このとき、次の問に答えなさい。

（１）動き出して１５秒ですべての白丸が消えるような白丸の

　　 置き方を下の図２に書きこみなさい。

　

（２）動き出してからちょうど１８秒ですべての白丸が消えるような

　　 白丸の置き方は何通りありますか。

（３）下の図３のように、白丸が５個連続でならんでいる（白丸の間に

　　 印または黒丸がない）ような置き方を考えます。

　　 このとき、動き出してからすべての白丸が消えるまでにかかる

　　 時間が最も短い場合の白丸の置き方の例を図２に書きこみ、

　　 そのときにかかる時間を答えなさい。

　

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解答

　（１）黒丸が３秒で次の頂点に達するので、１５秒では

１５÷３＝５個の頂点を移動することがわかります。

動く白丸の数が５個なので、各頂点で１個の白丸が

黒丸と重なれば、すべての白丸が消えます。

まず、黒丸がＥ → Ｂ に移動するときに消える白丸は、

Ｂから３個手前の、下の図４のような位置になります。

　

同様にして、Ｂ → Ｄ に移動して消える白丸は、Ｄ から６個手前、

Ｄ → Ａ に移動して消える白丸は、Ａ から９個手前、

Ａ → Ｃ に移動して消える白丸は、Ｃ から１２個手前、

Ｃ → Ｅ に移動して消える白丸は、Ｅ から１５個手前にあればよく

下の図５のような位置になります。

　（２）１８秒で黒丸が移動できる頂点は、１８÷３＝６個です。

（１）より１つ多くなり、Ｅ → Ｂ → Ｄ → Ａ → Ｃ → Ｅ → Ｂ と

移動します。

　最後の頂点Ｂに移動したときに消える白丸の位置は、

頂点Ｂから１８個手前の印で、下の図６のようになります。

（１）の図５の５個の場所と重なっていないので、

この６ヶ所の位置から５ヶ所を選べばよく、白丸の置き方は

５通り あることがわかります。

　（３）黒丸と重なって消える白丸の位置は、下の図７のように

７個ずつ移動しながら存在することがわかります。

このことを利用して、連続する５個の白丸ができる位置を探します。

始まりが頂点Ｅ なので、Ｅ から始まる数直線を書いてみると、

下の図８のようになり、黒丸と重なる白丸の位置は、７の倍数の

ときとなります。（数字の振り方に注意しましょう）

まず最初に黒丸が頂点Ｂに移動したときに重なる白丸は、

最初「７」の位置です。次に、頂点Ｄに移動したときに重なる

白丸は「１４」の位置です。これを順番に調べていきます。

印が２５個周期であることから、２５ずつ調べます。

　１～２５まで・・・７、１４，２１

２６～５０まで・・・２８、３５、４２、４９

５１～７５まで・・・５６、６３、７０

　このように７の倍数を書けますが、連続しているか

判断しにくいので、２６以降を１～２５に書き直します。

すなわち、「２８」なら、図８の数直線では「３」と同じです。

２６～５０までは、２５を引き、５１～７５までは５０を引き、

として調べていくと、

　１～２５まで・・・７、１４，２１

２６～５０まで・・・２８（３）、３５（１０）、４２（１７）、４９（２４）

５１～７５まで・・・５６（６）、６３（１３）、７０（２０）

７６～１００まで・・・７７（２）、８４（９）、・・・

　この辺りまで調べると、（ ）内だけ周期的に調べればよい

ことに気づくはずで、下のようにできます。

　１～２５まで・・・７、１４，２１

２６～５０まで・・・３、１０、１７、２４

５１～７５まで・・・６、１３、２０

７６～１００まで・・・２、９、１６、２３

１０１～１２５まで・・・５、１２、１９

１２６～１５０まで・・・１、８、１５、２２　

　多くの数が出てきたところで、連続した数がないか調べると、

５，６，７，８，９，１０ の連続した６個が現れていることに気付き、

ここから５個を選べばよく、下の図９のような位置になります。

（１２，１３，１４，１５，１６ や ２０，２１，２２，２３，２４ もありますが、

　５，６，７，８，９，１０の方が黒丸と重なるのが早いです）

「８」の位置まで移動するのに、黒丸が移動した頂点の数は、

　　　　３＋４＋３＋４＋３＋２＝１９個 で、

１つの頂点への移動に３秒かかるので、連続して５個ならんだ

白丸が消えるまでの最短の時間は、

　　　　１９×３＝５７秒 と求められます。

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