数の性質 第５５問 （桐朋中学 2007年（平成19年度） 算数入試問題）

問題　（桐朋中学　2007年　算数入試問題）　難易度★★★★

　Ｎを整数とします。１からＮまでの整数のうち、３の倍数の個数をＡ

４の倍数の個数をＢ、３の倍数でも４の倍数でもない数の個数をＣ

とします。このとき、次の問に答えなさい。

（１）Ｎ＝５０のとき、Ａ，Ｂ，Ｃを求めなさい。

（２）Ｃが１２となるようなＮをすべて答えなさい。

（３）Ｎを１から２５０までの整数とします。ＮがＣの２倍となるような

　　 Ｎは何個ありますか。

（４）ＡとＢの差が１５となるようなＮは何個ありますか。

　　 また、そのうち最も大きいＮと最も小さいＮを答えなさい。

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解答

　（１）Ｎ＝５０のとき、３の倍数は、

５０÷３＝１６あまり２ より、１６個

　４の倍数は、

５０÷４＝１２あまり２ より、１２個

　３の倍数でも４の倍数でもないものは、３と４の最小公倍数＝１２

なので、３の倍数かつ４の倍数は、５０÷１２＝４あまり２ より４個

あるため、５０－（１６＋１２－４）＝２６個 なります。

よって、Ａ＝１６、Ｂ＝１２、Ｃ＝２６ です。

　（２）数の周期を考えると、３と４の最小公倍数の１２までを

１つの周期として、下の表１のように規則的に倍数があり、

　

「１２」までに３の倍数（Ａ）は４個、４の倍数（Ｂ）は３個、

３の倍数でも４の倍数でもない数（Ｃ）は６個 あることがわかります。

この表１から、Ｃ＝１２となるのは、１２÷６＝２で、

Ｎは、２周期目の２３または２４であればＣ＝１２になります。

　（３）表１より、１２までのうち、ＮがＣの２倍になるのは、

Ｎ＝４のとき、Ｃ＝２個

Ｎ＝６のとき、Ｃ＝３個

Ｎ＝８のとき、Ｃ＝４個

Ｎ＝１０のとき、Ｃ＝５個

Ｎ＝１２のとき、Ｃ＝６個

　のように、５個あります。以降同様に表２のようになり、

　

２５０÷１２＝２０あまり１０ より、

　２０×５＋４＝１０４個 あることがわかります。

　（４）表１より、ＡとＢの差は、「１２」周期で１ずつ増えていきます。

よって、ＡとＢの差が１５になるのは、１２×１５＝１８０前後です。

１２×１４＝１６８ のときは、ＡとＢの差は１４になっています。

下の表３を見てみると、

１６８ではＡとＢの差は１４個で、「１７１」でＡとＢの差は１５個になり、

「１７２」ではＡとＢの差は１４個にもどります。「１７４」で再び１５個の

差になり、１８０まで１４個と１５個をくり返します。

次に、１８１からは、１５個と１６個をくり返し、Ｎ＝１８８のときが

ＡとＢの差が１５個になる最後となります。

よって、 ＡとＢの差が１５になるＮは、表３の下線の引かれた

１２個で、最も小さいものは１７１、最も大きいものは１８８ です。

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