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2010年8月18日 (水)

平面図形の角度 第47問 正方形と正六角形 (早稲田中学 2007年(平成19年度) 受験問題 算数)

 

問題 (早稲田中学 2007年 受験問題 算数) 難易度★★★

 下の図は、正方形と正六角形をならべたものです。

図の角アの大きさを求めなさい。 

 Pic_1793q

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解答

 正方形の1つの角は90度、正六角形の1つの角は120度です。

 

 よって、角アの大きさを求めるには、下の図1の角イの大きさが

わかればよいことになります。

Pic_1794a

角ア+角イ=360-(90+120)=150度 とわかります。

また、角ABC=角BCD=角CDE=150度 です。

 

次に、角イを下の図2のように、角ウ+角エとして表すことを考え、 

Pic_1795a

 

三角形ABC、三角形CDE は、ともに合同な二等辺三角形で、

  角エ=(180-150)÷2=15度

AC=CE より、三角形ACE は二等辺三角形で、

 角オ=150-15×2=120度 より、

 角ウ=(180-120)÷2=30度

と、それぞれ求めることができます。

 

よって、角イ=角ウ+角エ=30+15=45度 とわかるので、

 角ア=150-45=105度 と求めることができます。

 

 

<別解>

五角形ABCDE において、角ABC=角BCD=角CDE=150度、

AB=BC=CD=DE なので、五角形ABCDE は線対称の図形

ということになります。

 

よって、角イ=角AED で、五角形の内角の和が540度より、

 角イ=(540-150×3)÷2=45度  

となるので、

 角ア=150-45=105度 です。

  

 

 早稲田中学の過去問題集は → こちら

 早稲田中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

楽しく有益な問題が満載でたのしいです。
47問の別解を思いつきました。
五角形ABCDEにおいて、角B、角C、角Dはそれぞれ150度と分かります。

角い=角AEDなので、
五角形の内角の和=540度を用いると
角い=(540度-150度×3)÷2
となり、容易く解けるかと思います。

投稿: 幸兵衛 | 2011年12月 1日 (木) 11時05分

幸兵衛さま、コメントありがとうございます。
 
ご指摘の角イ=角AED についてですが、
五角形ABCDEからすぐには分からないと
思いました(正方形、六角形、正方形、六角形
の順に並んでいるので、完全に対称であると
視覚的に気付きにくいからです)

ですが、角イ=角AED とすぐに気付けると
五角形の内角の和540度から計算することが
できるので、簡単になりますね。

別解として掲載させていただきます。

また、お気づきの点がございましたら
コメントよろしくお願い致します。

投稿: 桜組 | 2011年12月 1日 (木) 16時42分

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