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2010年8月26日 (木)

規則性の問題 数の並び 第35問 (慶應義塾湘南藤沢中等部 2006年(平成18年度) 算数受験問題)

 

問題 (慶應義塾湘南藤沢中等部 2006年 算数受験問題) 

     難易度★★★

 

 1、2、3の数字が書かれたカードがたくさんあり、次のように

規則的にならべてきます。

 

 ① ② ③ ① ① ② ② ③ ③ ① ① ① ② ② ・・・

 

このとき、次の問に答えなさい。

 

 (1)カードを20枚ならべたとき、ならべたカードに書かれた

    数の合計を答えなさい。

 (2)カードを108枚ならべたとき、ならべたカードに書かれた

    数の合計を答えなさい。

 (3)ならべたカードに書かれた数の合計が353のとき、

    ならべたカードの枚数を答えなさい。

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解答

 (1)ならべるカードの枚数の規則は、次のようになっています。

①          ②      ③       ・・・ 3枚

① ①       ② ②    ③ ③    ・・・ 6枚

① ① ①    ② ② ② ③ ③ ③ ・・・ 9枚 

① ① ① ① ・・・

・・・以降、3の倍数の枚数が続きます。

 

3+6+9+2=20 で、上の表より、書かれている数の合計は、

 1×(1+2+3+2)+2×(1+2+3)+3×(1+2+3)

=8+12+18

38 です。

 

 (2)3+6+9+12+・・・+□の合計が108に近くなるような

□の値を調べます。

 

 3+6+9+12+・・・+21=(3+21)×7÷2=84

 3+6+9+12+・・・+24=84+24=108

 

となるので、①、②、③のカード共に8枚ずつ並べ終わったとき、

カードの枚数は108枚になります。

 

よって、108枚ならべたとき、カードに書かれた数の合計は、

1+2+3+4+5+6+7+8=(1+8)×8÷2=36 より、

1×36+2×36+3×36=(1+2+3)×36=216 です。

  

 (3)ならべたカードに書かれた数は、次のような規則で

求めることができます。

  

①       ②      ③       ・・・ 1+2+3=6

① ①    ② ②    ③ ③    ・・・ (1+2+3)×2=12

① ① ① ② ② ② ③ ③ ③ ・・・ (1+2+3)×3=18 

・・・以降、6の倍数が続きます。

 

よって、

 6+12+18+・・・+□ の合計が353に近い□を調べます。

 

すると、

 6+12+18+・・・+60=(6+60)×10÷2=330

 6+12+18+・・・+66=330+66=396 より、

 

①、②、③を共に10枚ずつならべ終わったとき、

カードに書かれた数の合計が330で、次に①を11枚ならべると、

カードに書かれた数の合計は、330+11=341となり、

 

(353-341)÷2= 6枚の②をならべ終わると、カードに

書かれた数の合計が353になることがわかります。 

 

よって、ならべたカードの枚数は、

 (1+2+・・・+10)×3+11+6=165+17=182枚

と求められます。

 

 

 慶應義塾湘南藤沢中等部の過去問題集は → こちら  

 慶應義塾湘南藤沢中等部の他の問題は → こちら

 

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