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2010年7月12日 (月)

点の移動 第11問 (慶應義塾中等部 2010年(平成22年度) 入試問題 算数)

 

問題 (慶應義塾中等部 2010年 入試問題 算数) 

     難易度★★★★

 

 図のような、たて6m、横11mの長方形から、たて3m、横6mの

長方形を、辺が平行になるようにくり抜いた1枚の板があります。

太郎君がAを毎秒80cmの速さでBに向かって出発した3秒後、

次郎君はDを太郎君と同じ速さでCに向かって出発しました。

このとき、次の問に答えなさい。

    Pic_1673q_2

(1)太郎君が出発してから5秒後に太郎君と次郎君を結んだ

  直線で板を切るとき、小さい板と大きい板の面積の比を

  最も簡単な整数の比で表しなさい。

 

(2)太郎君と次郎君を結んだ直線で板を切って、板が2等分

   されるのは、太郎君が出発してから何秒後ですか。

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解答

 (1)板の面積は、6×11-3×6=48㎡ です。

 

太郎君は次郎君より3秒速く出発するので、

  80×3=240cm=2.4m 先に進んでいることになります。

すると、下の図1のように、太郎君、次郎君を結んだ直線を含む

直角三角形を作ることができます。

      Pic_1674a

この直角三角形が内側の長方形と重なる部分は、それぞれ

相似比より、0.4m、1.6m の長さになることがわかります。

 

 さて、出発して5秒後には、太郎君は5×0.8m=4m、

次郎君は、(5-3)×0.8=1.6m それぞれ進むので、

下の図2のような位置にいることがわかります。

    Pic_1675a

太郎君と次郎君を結んだ直線は、くり抜いた長方形の頂点を

通ることがわかり、左側の板の面積は、

  台形から底辺1.2m、高さ3mの直角三角形を除いたもので、

(1.6+4)×6÷2-1.2×3÷2=15㎡ と求められます。

 

板の面積が48㎡ なので、右側の板の面積は、

 48-15=33㎡ となり、

小さい板の面積と大きい板の面積の比は、

 15:33=5:11 となります。

 

 

 (2)板が二等分されるとき、板の面積は、48÷2=24㎡ です。

このとき、次郎が頂点Dから□m進んだところにいるとして

図を描くと、下の図3のようになります。

   Pic_1676a_2

太郎の位置をP,次郎の位置をQとして、内側の長方形の左側の

頂点をE,F、PQと内側の長方形の交点をG,Hとすると、

板の面積は、台形APQD-台形EFGH として求められ、

 (□+□+2.4)×6÷2

     -{(□-2+0.4)+(□-2+1.6)}×3÷2=24

という式を作ることができ、これを解くと、□=4.6m となります。

(このとき点Gは、4.6+1.6=6.2m の場所なので、内側の

長方形の中にあることがわかります)

 

次郎が4.6m進むのは、太郎が頂点Aを出発してから

 4.6÷0.8+3=8.75秒後 と求められます。

 

 

 慶應義塾中等部の過去問題集は → こちら

 慶應義塾中等部の他の問題は → こちら

 

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