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2010年7月 8日 (木)

数の性質 第48問 (筑波大学附属駒場中学 2010年(平成22年度) 入試算数問題)

 

問題 (筑波大学附属駒場中学 2010年 入試算数問題) 

     難易度★★★★

 

 箱の中に数を書いたいくつかの玉が入っています。この箱に、

 

 【2個の玉を箱の中から取り出し、別の玉に取り出した2個の

  玉の平均を書いて入れる】

 

 という操作を、箱の中に玉が1個だけになるまでくり返します。

 

 例えば、箱に1,2,3と書いた3個の玉が入っているとき、

最初に2と3の玉を取り出すと、戻す玉には2.5を書きます。

次に、1と2.5の書かれた玉を取り出すので、戻す玉には

1.75と書きます。最後に残る玉に書かれた数は1.75という

ことになります。

 このとき、次の問に答えなさい。

 

 (1)連続する3,4,5 を書いた3個の玉が入っている箱に

    操作をくり返し行いました。最後に残る玉に書かれた数の

    うち、最も小さいものを答えなさい。

 

 (2)連続する4つの整数を書いた4個の玉が入っている箱に

    操作をくり返し行いました。このとき、最後に残る玉に

    書かれる数として考えられるもののうち、最も小さいものは

    5.875です。

   (ア)初めの4個の玉に書かれた数をすべて答えなさい。

   (イ)最後に残る玉に書かれる数として考えられるもののうち

      最も大きいものを答えなさい。

   (ウ)最後に残った玉に書かれた数が6.875だったとき、

      最初に取り出した2個の玉に書かれた数は何ですか。

      考えられる組み合わせを(○と△)のようにして全て

      答えなさい。

------------------------------------------------

------------------------------------------------

解答

 (1)例にある、1,2,3について操作を行ったときの結果を

考えると、下の図1のように、「2」と「2.25」になる場合があります。

       Pic_1657a

1,2,3を、数の大きさから【小】、【中】、【大】として表すと、

最初に【中】と【大】を取り出したときが、最後に残る玉に

書かれる数が最も小さくなることがわかります。 

 

よって、3,4,5の3つの玉で操作をするときも、

まず4と5を取り出し、4.5

次に3と4.5の平均の3.75 が最も小さい数になります。

 

 <別解>

3=2+1、

4=2+2、

5=2+3 と考えると、

 「2」はすべての数に共通するので、平均するときに除いて

考えることができます。

<参考問題:計算問題 (筑波大学附属中学 2006年)

 

すると、1,2,3での最も小さい数は1.75だったので、

3,4,5での最も小さい数は、1.75+23.75 となります。

 

 

 (2)(ア)最後に残る玉に書かれる数が最も小さくなるときは

大きい数から順に取り出したとき、という考えに基づいて考え、

連続する4つの整数をA,B,C,Dとすると、

A,A+1、A+2、A+3 ということになるので、

それぞれの数からAを除いて0,1,2,3で考えます。

すると、下の図2のように平均を求めることができ、

  Pic_1658a

A+0.875=5.875 より、A=5 と求められます。

 

よって、4つの整数は、5,6,7,8 とわかります。

 

 

 (イ) 最も大きいものは、逆に小さいものから順に取り出したとき

だと考えることができます。すると、下の図3のように、

   Pic_1659a

最後の玉に書かれる数は、最も大きいときは 7.125

求められます。

 

 

 (ウ)6.875-5=1.875 より、

最後の1回前にあった2個の玉に書かれた数の和は、

1.875×2=3.75 ということがわかります。

 

ここで、(1)の答えが3.75であったことから、

下の図4のように、

   Pic_1660a

最初に取り出す玉は、(6と7)ということがわかります。

 

他にもないか調べます。

 0+3.75 の他に考えられるものは、

①1+2.75(0,2,3の平均が2.75になる場合があるかどうか)

②2+1.75(0,1,3の平均が1.75になる場合があるかどうか)

③3+0.75(0,1,2の平均が0.75になる場合があるかどうか)

 

 まず、①のとき、

0,2,3を取り出していくときに最大になるのは、

 0と2→1、1と3→2 なので、2.75になることはない です。

 

 次に②のとき、

0,1,3を取り出して1.75になるのは、

 0と1→0.5、0.5と3→1.75 なので、下の図5のように、

   Pic_1661a

最初に取り出す玉は、(5と6)が可能であるとわかります。

 

 最後に③のとき、

0,1,2の玉を取り出して0.75になるのは、

1と2→1.5、1.5と0→0.75 となるときです。

1と2、すなわち(6と7)を最初に取り出したときです。

 

 調べた結果より、最初に(6と7)または(5と6)の

書かれた玉を取り出すと、最後に残った玉に書かれた

数が6.875になることがあることがわかりました。

 

 

 筑波大学附属駒場中学の過去問題集は → こちら

 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

 

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