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2010年7月28日 (水)

場合の数 並べ方 第34問 (巣鴨中学 2010年(平成22年度) 受験問題 算数)

 

問題 (巣鴨中学 2010年 受験問題 算数) 難易度★★★

 

 下の図のように針が1を指している円ばんがあります。いま、

赤と白の2つのサイコロを同時に投げるとき、赤と白の2つの

目の出方により、毎回、次の(ア)~(ウ)のように針が動きます。

 

(ア)赤いサイコロの目の数が白いサイコロの目の数よりも大きい

   ときは、目の数の和だけ右に回転する。

(イ)赤いサイコロの目の数が白いサイコロの目の数よりも小さい

   ときは、目の数の和だけ左に回転する。

(ウ)赤いサイコロの目の数と白いサイコロの目の数が等しい

   ときは、動かない。

 

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_1732q

(1)1回投げて針が6を指しました。このとき、2つのサイコロの

   目の出方は何通りありますか。

(2)1回投げて針が6を指しました。次にもう1回投げて針が1を

   指しました。このとき、2回投げた2つのサイコロの目の出方は

   何通りありますか。

(3)2回投げて針が1を指しました。このとき、2回投げた2つの

   サイコロの目の出方は何通りありますか。

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解答 

 (1)1回投げて針が6を指すのは、

左に5回転するときか、右に7回転するかです。

 

このときサイコロの目の出方は、

 和が5になるのは・・・(4,1)、(3,2)

 和が7になるのは・・・(6,1)、(5,2)、(4,3)

以上、5通り となります。

 

 

 (2) (1)より、1回サイコロを投げて針が6を指すのは5通りです。

6から針が1を指すには、

 右に5回転するか、左に7回転するかです。

これは、(1)と同じ目の出方になるので、5通りになります。

 

よって、1→ 6・・・5通り、  6→1 ・・・5通り なので、

2回投げたサイコロの目の出方は、

 5×5=25通り となります。

 

 

 (3)針の移動は、次のようになります。

          1→□→1

図の対称性から、□に入るのは、1から7について調べれば

よいことになります。

 

□=1のとき、1→1→1

 サイコロの目が同じ場合は針が動かないので、

1回につき、(1,1)、(2,2)、・・・、(6,6)の6通りの

目の出方があるので、サイコロの目の出方は、

  6×6=36通り あります。

 

□=2のとき、1→2→1 左に1回転、または右に11回転です。

 左に1回転するには、2つのサイコロの目の和が1に

 ならなければなりませんが、このようになるはありません。

 

 右に11回転するのは、(6,5)の1通り があります。

 2から1に戻るときも、(6,5)の1通りなので、

 1×1=1通り となります。

 

□=3のとき、1→3→1 左に2回転、または右に10回転です。

 左に2回転するには、2つのサイコロの目の和が2にならなければ

 なりませんが、(1,1)という目の出方しかなく、この目の出方では

 針は動かないので、1→3→1 という針の動きはありません。

 

 右に10回転するには、2つのサイコロの目の和が10で、

 (6,4)、(5,5) 1通りの目の出方が考えられます。

 よって、1×1=1通り があります。

 

□=4のとき、1→4→1 左に3回転、または右に9回転です。

 左に3回転するのは、2つのサイコロの目の和が3で、

 (2,1)の1通りが考えられます。

 

 右に9回転するのは、2つのサイコロの目の和が9で、

 (6,3)、(5,4)の2通りが考えられます。

 

 よって、1→4 の針の動きは、1+2=3通り あり、

 4→1 の針の動きも同様に3通りあるので、

 1→4→1の針の動きは、3×3=9通り となります。

 

□=5のとき、1→5→1 左に4回転、または右に8回転です。

 左に4回転するのは、2つのサイコロの目の和が4で、

 (3,1)、(2,2)の1通りがあります。

 右に8回転するのは、2つのサイコロの目の和が8で、

 (6,2)、(5,3)、(4,4) の2通りがあります。

 

 よって、1→5 の針の動きが1+2=3通り あり、

 5→1 の針の動きも同様に3通りあるので、

 1→5→1の針の動きは、3×3=9通り あります。

 

□=6 のときは、(2)より、25通り です。

 

□=7 のとき、1→7→1 右に6回転、または左に6回転です。

 右も左も6回転なので、サイコロの目の和が6で、

 (5,1)、(4,2)、(2,4)、(1,5)の4通りがあるので、

 1→7→1の針の動きは、4×4=16通り となります。

 

1→□→1と針が動くとき、以上のことから、

 □=1のとき、36通り

 □=2のとき、1通り

 □=3のとき、1通り

 □=4のとき、9通り

 □=5のとき、9通り

 □=6のとき、25通り

 □=7のとき、16通り

となり、

 □=8のとき → □=6のときと等しく、25通り

 □=9のとき → □=5のときと等しく、9通り

 □=10のとき → □=4のときと等しく、9通り

 □=11のとき → □=3のときと等しく、1通り

 □=12のとき → □=2のときと等しく、1通り

 

よって、サイコロを2回投げて針が1を指すサイコロの目の出方は、

 36+(1+1+9+9+25)×2+16

142通り と求められます。

 

 

 巣鴨中学の過去問題集は → こちら

 巣鴨中学の他の問題は → こちら

 

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