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2010年7月28日 (水)

点の移動 第12問 (栄光学園中学 2010年(平成22年度) 受験問題 算数)

 

問題 (栄光学園中学 2010年 受験問題 算数) 難易度★★★

 

下の図のような図形に、A,B,C,D,X の5つの地点があります。

地点間の道のりはそれぞれ、AからBが2cm、BからCが10cm、

CからDが6cm、DからAが8cm、AからXが5cm、XからCが6cm

となっています。

Pic_1733q

点PはDを出発し、A,Bを通りCへ向かって進みます。

点QはBを出発し、C,Dを通りAへ向かって進みます。

 このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)2点P,Qが同時に出発し、ともに毎秒1cmで進むとき、

   ① 2秒後にP,Qがある地点から地点Xまでの最短の

     道のりをそれぞれ求めなさい。

   ② 出発してから10秒後までの間で、PからXまでの最短の

     道のりが、QからXまでの最短の道のり以下なのは、

     いつですか。

 

(2)2点P,Qが同時に出発し、Pは毎秒1cm、Qは毎秒2cmで

   進むとき、出発してから10秒後までの間で、PからXまでの

   最短の道のりが、QからXまでの最短の道のり以下なのは

   いつですか。

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解答

 (1)①2秒後は、点PはAから6cm、QはAから4cmの地点に

いるので、Xからの最短の道のりは、

 点P:6+5=11cm

 点Q:4+5=9cm となります。

  

 (1)②X-A-P の道のりと、X-A-Q の道のりが等しく

なるのは、P-A-Q の道のりでAが点P,Qのまん中に

なるときで、点P,Q間が8+2=10cmなので、PA=5cm

となるとき → 8-5=3秒後 です。

 

 3秒後からは、点Pの方が点QよりXに近くなります。

 

 点PがAの位置に来るまで(8秒後)は、X-A=5cm、

X-C=6cmなので、点Pの方が点QよりXの近くにあります。

 

一方、10秒後、点PはBの位置に、点QはCの位置にあり、

 点PからXまでの最短の道のりは、7cm、

 点QからXまでの最短の道のりは、6cm

となり、点Qの方が点PよりXの近くにあります。

 

すなわち、8秒後から10秒後の間に、点Qの方が点Pより

Xの近くに代わります。

 

8秒後は、点PはA(Xから5cm)、点QはCから2cm(Xから8cm)

にそれぞれいて、点PはXから毎秒1cmで遠ざかり、

点QはXに毎秒1cmで近づくので、

点P,QのXからの道のりが等しくなるのは、Xから

 (5+8)÷2=6.5cm になるときで、

これは9.5秒後の位置です。

 

よって、出発してから10秒後までの間で、PからXまでの最短の

道のりが、QからXまでの最短の道のり以下なのは、

 3秒後から9.5秒後まで です。

 

 

 (2)Pが毎秒1cm、Qが毎秒2cmのとき、

まず、Aから点P,Qまでの道のりが等しくなるのは、

8-1×□=2+2×□ より、□=2秒後 です。

 

点QがCにくるとき(5秒後)は、点PはAから8-5=3cmの

位置にいるので、点Qの方が点Pより近いことがわかり、

2秒後から5秒後までの間で、Xから点P,Qまでの道のりが

等しくなるときがあることがわかり、それを●秒後とすると、

 5+(8-●)=6+(10-2×●) より、

 ●=3秒後 と求められます。

 

よって、2秒後から3秒後が、点Pの方が点QよりXに近いことが

わかります。

 

 次に、点QはCを過ぎると再びXから遠ざかり、点PがAに

着いたとき(8秒後)には、Qは16cm進むのでDに来るので、

5秒後から8秒後の間に、Xから点P,Qまでの道のりが等しく

なるときがあることがわかります。

 そのときを(5+■)秒後とすると、

5+{8-(5+■)}=6+2×■ となるので、

 ■=2/3 と求められ、5+2/3=5と2/3秒後 とわかります。

 

最後の10秒後には、点PはBにいて、点QはAから4cmのところ

にいるので、点Pの方が点QよりXに近いままです。

 

よって、出発してから10秒後までの間で、PからXまでの最短の

道のりが、QからXまでの最短の道のり以下なのは、

 2秒後から3秒後まで と 5と2/3秒後から10秒後まで

2回あることが求められます。

 

 

 栄光学園中学の過去問題集は → こちら

 栄光学園中学の他の問題は → こちら

 

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