規則性の問題 図形 第１２問 （鎌倉学園中学 2009年（平成21年度） 入試算数問題）

問題　（鎌倉学園中学　2009年　入試算数問題）　難易度★★★

　次のように規則的におはじきをならべます。

　　　○●◎○○●●◎◎○○○●●●◎◎◎・・・

このとき、次の問に答なさい。

（１）１５個目の○がならべられたとき、全部で何個のおはじきが

　　 ならべられていますか。

（２）３０個目の●は、全体で何個目のおはじきですか。

（３）◎は４７個しかありません。４７個目の◎をならべたあとは、

　　 規則通り○と●だけをならべていきました。全部で２００９個の

　　 おはじきをならべたとき、●は何個ならべられていますか。

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解答

　（１）○だけを見てみると、

　○・・・○○・・・○○○・・・○○○○・・・○○○○○（←１５個目）

このようにならんでいます。

●、◎も同様に１個、２個、・・・とならんでいるので、

１５個目の○をならべたとき、おはじきは全部で

　１×３＋２×３＋３×３＋４×３＋５

＝（１＋２＋３＋４）×３＋５＝３５個 ならんでいることがわかります。

　（２）●も○と同様にならんでいるので、

●・・・●●・・・●●●・・・●●●●・・・●●●●●（←１５個）

　１５＋６＝２１

　２１＋７＝２８

　２８＋８＝３６ より、

１５個目以降の●は、

　●●●●●●・・・●●●●●●●・・・●●（←３０個目）

とならんでいることがわかります。

３０個目の●までにあるおはじきは、○●◎の順番に注意して、

（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７）×３＋８（○）＋２（●）＝９４個

よって、３０個目の●は９４個目のおはじきです。

　（３）４７個目の◎までならべるとき、

○●◎・・・◎◎・・・◎◎◎・・・・・・◎◎◎◎◎◎◎◎◎・・・◎◎

　１＋２＋３＋・・・＋９＋２＝４７ となるので、　

（１＋２＋３＋・・・＋９）×３＋１０＋１０＋２＝１５７個目まで

○●◎で規則通りならび、その後は○１１個、●１１個、○１２個、

の順番にならべることになります。

すなわち、２００９－１５７＝１８５２個のおはじきを

○、●だけでならべることになります。

何個目までくり返しならべるか、適当に目星をつけます。

（１１＋１２＋・・・＋５０）×２＝（１１＋５０）×（５０－１０）÷２×２

　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝６１×４０＝２４２０　

（１１＋１２＋・・・＋４５）×２＝５６×３５＝１９６０

（１１＋１２＋・・・＋４４）×２＝５５×３４＝１８７０　←１８５２に近い

１８７０－４４＝１８２６ なので、１８５２個になるには、●を

　１８５２－１８２６＝２６個 ならべればよいことがわかります。

よって、ならべられた●は、

　１＋２＋３＋・・・＋４３＋２６＝（１＋４３）×４３÷２＋２６

　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝９７２個 です。

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