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2010年7月 7日 (水)

点の移動 第10問 (甲陽学院中学 2009年(平成21年度) 入試問題 算数)

 

問題 (甲陽学院中学 2009年 入試問題 算数) 難易度★★★

 

 長方形ABCDがあり、AB=90cm、AD=60cmです。

AB、CD上に点E,Fがあり、AE=EF=60cm です。

 

点Pが毎秒3cmで頂点Aを出発して、A→B→C の順に長方形の

辺上を移動します。また、点Qは毎秒2cmで頂点Cを出発して、

C→D→Aの順に長方形の辺上を移動します。

 

点Pと点Qの間の長さを長方形ABCDの辺に沿った経路の

長さと、EFを通る経路での長さのうち、短い方で表します。

 

最初の位置では、点Pと点Qの間の長さは、

 辺ABの長さ+辺BCの長さ=90+60=150cm

 AEの長さ+EFの長さ+FCの長さ=60+60+30=150cm

として表すことができ、共に150cm となります。

 

点Pと点Qが同時にそれぞれ頂点A、Cを出発し、点Pが頂点Cに

着くまでを考えるとき、次の問に答えなさい。

  Pic_1665q

(1)出発して18秒後の点Pと点Qの間の長さを答えなさい。

(2)点Pと点Qの間の長さが最短になるときの長さと、出発して

   からの時間を答えなさい。

(3)点Pと点Qの間の長さが110cmになるのは、出発して

   何秒後ですか。すべて答えなさい。

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解答

 (1)18秒間で、点Pは、18×3=54cm

           点Qは、18×2=36cm それぞれ進み、

点Pは点E から6cm、点Qは点Fから6cmの位置なので、

点Pと点Qの間の長さが最短になるのは、下の図1の太線のときで

   Pic_1666a

その長さは、6+60+6=72cm です。 

 

 

 (2)点Qが点Fに着くのは、30÷2=15秒後で、このとき点Pは、

15×3=45cm 進むので、点E の15cm手前にいて、点Pと点Q

の間の長さは、下の図2のように、15+60=75cm です。

  Pic_1667a

図2の状態から、点Pが点E に着くまで移動すると、

15÷3=5秒 かかるので、点Qは、5×2=10cm進み、

下の図3の位置に移動します。

  Pic_1668a

図3のとき、点Pと点Qの間の長さは、60+10=70cmです。

 

図3の位置を過ぎると、点Pと点Qの間の長さは長くなっていき、

下の図4のように、点Pが頂点Bに達するときに最も長くなり、

このとき、点Qは、点Fから30cmの位置へ移動するので、

   Pic_1669a

点Pと点Qの間の長さは、30+60+30=120cm となります。

 

図4の状態を過ぎると、再び点Pと点Qの間の長さは短くなり、

点Pが頂点Cに着くとき、点Qは頂点Dから10cmの位置に

移動しているので、下の図5のようになり、

   Pic_1670a

点Pと点Qの間の長さは、90+10=100cm となります。

 

よって、点Pと点Qの間の長さが最も短くなるのは、

 出発してから60÷3=20秒後 で、70cm です。

 

 

 (3)点Pと点Qの間の長さが110cmになるのは、

出発してから図1の状態になるまでの間に1回、

図3から図4の状態になるまでの間に1回、

図4から図5の状態になるまでの間に1回、それぞれあります。

 

出発してから最初に110cmになるのは、

出発するときに150cmの長さがあって、点Pは毎秒3cm、

点Qは毎秒2cmで進むので、

 (150-110)÷(3+2)=8秒後 です。

 

次に、20秒後の図3(70cm)から、30秒後の図4(120cm)

の間では、

 (110-70)÷(3+2)+20=28秒後 に110cmになります。

 

さらに、30秒後の図4(120cm)から50秒後の図5の間では、

 (120-110)÷(3-2)+30=40秒後 に110cmになります。

 

よって、点Pと点Qの間の長さが110cmになるのは、

 出発して 8秒後、28秒後、40秒後 の3回です。

 

 

 甲陽学院中学の過去問題集は → こちら

 甲陽学院中学の他の問題は → こちら

 

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