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2010年7月27日 (火)

立体図形の展開図 (切り口を展開図に描く) 第28問 (海城中学 2009年(平成21年度) 入試問題 算数)

 

問題 (海城中学 2009年 入試問題 算数) 難易度★★★★

 

 下の図のような直方体ABCD-EFGHがあり、AB=4cm、

AD=6cm、DH=5cmです。点P,Qはそれぞれ辺FG,GH上に

あり、FP=2cm、GQ=2cmです。

    Pic_1734q

(1)この直方体を3つの点A,P,Qを通る平面で切るとき、

   切り口を下の展開図に書きこみなさい。

Pic_1735q

(2)3つの点A,P,Qを通る平面とEG,CEが交わる点を

   それぞれR,Sとします。

   ① ERの長さとRGの長さの比を最も簡単な整数の比で

     答えなさい。

   ② ESの長さとSCの長さの比を最も簡単な整数の比で

     答えなさい。

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解答

 (1)3点A,P,Qを通る平面は、下の図1のように三角形APQを

通ります。

      Pic_1736a

この青い平面は、直線PQ上にあるので、下の図2のように

PQを延長した部分も同じ平面になります。

    Pic_1737a

図2において、EF、EHの延長とPQの延長の交点をそれぞれM,N

とすると、三角形AMNも青い平面上にあります。

 

展開図に切り口を描く上で必要なのは、

 図2のAMとBFの交点の位置、ANとDHの交点の位置 の2つで、

それぞれ点K,Lとします。

 

まず、三角形PFMと三角形PGQが相似で、

 FP=2cm、PG=4cm、GQ=2cmより、FM=1cm とわかり、

次に、三角形QGPと三角形QHNが、QG=QH=2cmなので

合同なので、HN=PG=4cm とわかります。

 

よって、下の図3のように、

Pic_1738a

三角形AME と三角形KMFが相似なので、KF=1cm

三角形ANEと三角形LHNが相似なので、LH=2cm

とそれぞれ求めることができるので、展開図に切り口を描くと

下の図4のようになります。

Pic_1739a

 

 (2)① (1)より、ER:RGの長さの比は、下の図5のように

Pic_1740a

三角形ERNと三角形GRPが相似で、

 EN=10cm、PG=4cmより、ER:RG=10:4=5:2

と求めることができます。

 

(三角形EMRと三角形GQRの相似からも求められます)

 

 

 (2)② 直方体をAEGCの面で見ると、下の図6のように、

   Pic_1741a

3点A,P,Qを通る面は、直線ARとして見ることができます

 

図6から、三角形ESRと三角形CSAが相似なので、

  ES:SC=ER:AC=⑤:⑤+②=5:7 とわかります。

 

 

 海城中学の過去問題集は → こちら

 海城中学の他の問題は → こちら

 

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