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2010年7月 1日 (木)

規則性の問題 図形 第11問 (函館ラ・サール中学 2009年(平成21年度) 入試問題 算数)

 

問題 (函館ラ・サール中学 2009年 入試問題 算数) 

     難易度★★★

 

 たて1cm、横2cmの長方形の紙を下の図のように規則的に

ならべていきます。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_1663q

(1)6番目の図形の周囲の長さ(図の太線部分)を求めなさい。

(2)図形の周囲の長さが150cmになるのは何番目の図形ですか。

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解答

 (1)太線の長さは、下の図1のように、図形がぴったり入る

長方形の周りの長さに等しいことがわかります。

 Pic_16641a

 1番目は、1cm×2cmの長方形の周りの長さ

 2番目は、3cm×4cmの長方形の周りの長さ

 3番目は、5cm×6cmの長方形の周りの長さ

 4番目は、7cm×8cmの長方形の周りの長さ

として、規則的に測ることができるので、

 6番目は、11cm×12cmの長方形の周りの長さと等しく、

       (11+12)×2=46cm となります。

 

 (2)□番目の長方形が、(たて+横)×2=150cm

となるので、たて+横=75cm とわかります。

さらに、たてと横の差は1cmなので、たて=37cm、横=38cm

となります。

 

番号と横の長さは、2倍の関係になっているので、

太線の長さが150cmになるのは、38÷2=19番目 です。

 

<別解>

 (1)1番目の長方形の周囲の長さは、6cmです。

2番目以降の図形の周囲の長さは、下の図2のように、図形を

青線部分と黄色線部分に分けて考えると、

Pic_16632a

黄色い線の長さは6cmで、青線部分の長さはそれぞれ

 2番目・・・2×4

 3番目・・・4×4

 4番目・・・6×4

となるので、6番目の図形の青線部分に当たる長さは、

 10×4=40cm となります。

 

よって、6番目の図形の周囲の長さは、

 青線部分+黄色線部分=40+6=46cm です。

 

 (2)□番目の図形の周囲の長さは、(□-1)×2×4+6

として求めることができるので、

 (□-1)×2×4+6=150cm となるのは、

 □=19 より、19番目です。

 

 

 函館ラ・サール中学の過去問題集は → こちら

 函館ラ・サール中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

いつも充実した問題を有難うございます。
★★だと思い、のんきに取りかかると意外と手こずり悪戦苦闘することもしばしばです。

この問題を以下のように考えてみました。
たて部分の辺の長さと横部分の辺の長さに分けてみると

1番目の周囲の長さは

   (1㎝+2㎝)×2=6㎝
     ↑  ↑
    たて よこ

以下同様に

2番目(3㎝+4㎝)×2=14㎝

3番目(5㎝+6㎝)×2=22㎝

4番目(7㎝+8㎝)×2=30㎝

・・・・

として表されるので、6㎝を1番目として8㎝ずつ増えていることが分かります。

このような数列として考えてもシンプルだと思いますが、いかがでしょうか。

投稿: 幸兵衛 | 2012年1月29日 (日) 17時23分

幸兵衛さま、コメントありがとうございます。

ご提示された解法、とてもすっきりした解答
ですので、正答として拝借させていただきました。
 
少し難しく考えてしまっていたようで、お恥ずかしいです。

また、お気づきの点がございましたら、コメント
よろしくお願い致します。

投稿: 桜組 | 2012年1月30日 (月) 17時31分

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