« 場合の数 第33問 式を成立させる (雙葉中学 2006年(平成18年度) 入試問題 算数) | トップページ | 数の性質 第52問 (青雲中学 2008年(平成20年度) 入試算数問題) »

2010年7月30日 (金)

立体図形の展開図 第29問 (大阪桐蔭中学 2009年(平成21年度) 入試算数問題)

 

問題 (大阪桐蔭中学 2009年 入試算数問題) 難易度★★★★★

 

 下の図1は、ある立体の展開図で、正三角形A、長方形B、

五角形C からできています。長方形Bは図2のようになっており、

図1の展開図を組み立てると、図3のような立体ができます。

 このとき、次の問に答えなさい。

Pic_1712q

       Pic_1713q

 Pic_1714q

(1)図3の立体の辺の数を答えなさい。

(2)図3の立体の頂点の数を答えなさい。

(3)図3の立体の体積を答えなさい。

------------------------------------------------

------------------------------------------------

解答

 (1)図1の展開図から、図3の立体の面は、

   正三角形・・・2面

   長方形・・・6面

   五角形・・・6面

ということがわかります。

 

立体のある面とある面は、下の図4のように辺と辺が1つになって

つながります。すなわち、展開図の2つの辺が1つになります。

     Pic_1715a

図1の展開図の面の辺の数は、

 正三角形・・・3本×2=6本

 長方形・・・4本×6=24本

 五角形・・・5本×6=30本 

合計すると、6+24+30=60本 あるので、

展開図を組み立てて図3の立体にしたときの辺の数は、

    60÷230本 となります。

 

 

 (2)図1の展開図と図3の立体図から、図3に書かれていない

頂点は、正三角形Aの3つの頂点だけということがわかります。

 

よって、図3の立体の頂点の数を数えると、15+3=18個

とわかります。

 

 

 (3)図3の立体の元が立方体であることに気づくことが

できるかどうかがポイントとなります。

 

図3の立体は、立方体から下の図5のように立体を

切り取ることで作られます。

  Pic_1716a

1辺5cmの立方体から、底面が等しい2辺の長さが1cmの

直角二等辺三角形で高さ4cmの三角柱を6個と、

1辺1cmの立方体を下の図6のように切った部分を2個を

除けば、図3の立体となります。

 Pic_1717a

図6の立体の体積は、1×1÷2×1÷3=1/6c㎥ なので、

取り除く体積は、1×1×1-1/6=5/6c㎥ となります。

 

取り除く三角柱の体積は、

 1×1÷2×4=2c㎥ です。

 

よって、図3の立体の体積は、

 5×5×5-(2×6+5/6 ×2)=334/3=111と1/3c㎥

となります。

 

 

 大阪桐蔭中学の過去問題集は → こちら

 大阪桐蔭中学の他の問題は → こちら

 

|

« 場合の数 第33問 式を成立させる (雙葉中学 2006年(平成18年度) 入試問題 算数) | トップページ | 数の性質 第52問 (青雲中学 2008年(平成20年度) 入試算数問題) »

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック


この記事へのトラックバック一覧です: 立体図形の展開図 第29問 (大阪桐蔭中学 2009年(平成21年度) 入試算数問題):

« 場合の数 第33問 式を成立させる (雙葉中学 2006年(平成18年度) 入試問題 算数) | トップページ | 数の性質 第52問 (青雲中学 2008年(平成20年度) 入試算数問題) »