規則的な図形の移動 第１問 （桐朋中学 2001年（平成13年度） 受験問題 算数）

問題　（桐朋中学　2001年　受験問題　算数）　難易度★★★★★

　１周３０ｃｍの円形のコースがあります。Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは円周を

４等分する点です。このコースを毎秒３ｃｍでＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａ

の方向にライトが動きます。ライトは、ａ秒間光り、ｂ秒間消える

ことをくり返すものとして、Ａを出発して１時間移動し続けます。

このとき、次の問に答えなさい。

　　　　

（１）ａ＝４、ｂ＝３のとき、ライトが点Ｃを通過するときに

　　 ちょうど光ることは何回あるか答えなさい。

（２）ａ＝５、ｂ＝３のとき、ライトが点Ｂを通過するときに

　　 ライトが光ったまま通過することは何回あるか答えなさい。

（３）ａ＋ｂ＝１８で、ａ、ｂともに整数のとき、ライトが光ったまま

　　 点Ｄを通過することが２００回ありました。このときａ として

　　 考えられる数をすべて答えなさい。

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解答

　（１）ライトは毎秒３ｃｍで１周３０ｃｍの円上を移動するので、

１０秒で１周します。

　ライトが点Ｃを通過するのは、

５秒後、１５秒後、２５秒後、３５秒後、４５秒後、５５秒後、

６５秒後、７５秒後、８５秒後、９５秒後、１０５秒後、・・・です。

　ライトが４秒間光り、３秒間消えることをくり返すので、

７秒ごとに光りだすことになり、点Ｃでちょうど光るのは、

３５秒後、１０５秒後（３５＋７０）、１７５秒後、・・・です。

１時間に何回あるかというと、

　１時間＝６０分＝３６００秒 で、

　（３６００－３５）÷７０＝５０．９・・・ より、

　５０＋１＝５１回 となります。

　（２）１０秒で１周し、５秒間光り３秒間消えるライトなので、

１０と８（５＋３）の最小公倍数である４０秒までを調べれば

あとは、そのくり返しとなることがわかります。

４０秒までに点Ｂをライトが通るのは、

　 ２．５秒後、１２．５秒後、２５．５秒後、３５．５秒後 です。

ライトがつくのは、

　０秒後、８秒後、１６秒後、２４秒後、３２秒後、４０秒後（＝０秒後）

ライトがついているのは、

　０～５秒後、　　→　２．５秒後に点Ｂを通過

　８～１３秒後、　→　１２．５秒後に点Ｂを通過

　１６～２１秒後、

　２４～２９秒後、

　３２～３７秒後、　→　３２．５秒後に点Ｂを通過

　よって、４０秒間に３回、ライトが光ったまま点Ｂを通過することが

わかり、１時間＝３６００秒の間では、

　３６００÷４０×３＝２７０回 あることがわかります。

　（３）ａ＋ｂ＝１８ なので、１周１０秒で移動するライトとの

最小公倍数は、９０です。

　９０秒までで、ライトが点Ｄを通過するのは、

７．５秒後、１７．５秒後、２７．５秒後、３７．５秒後、４７．５秒後、

５７．５秒後、６７．５秒後、７７．５秒後、８７．５秒後 の９回です。

　３６００秒で２００回光るので、９０秒では５回となります。

　すなわち、１８秒で１回、点Ｄを光ったまま通過するので、

下の図のように、ａは８以上ということがわかります。

（７以下だと、点Ｄを消えたまま通過してしまう）

９０秒間に点Ｄを通過するときに光っている５回は、

　①０～ａ　　　　　（ａは８以上）　　　　　　　　　　→７．５

　②１８～１８＋ａ （ａが８以上なので、２６以上）

　③３６～３６＋ａ （ａが８以上なので、４４以上） →３７．５

　④５４～５４＋ａ （ａが８以上なので、６２以上） →５７．５

　⑤７２～７２＋ａ （ａが８以上なので、８０以上） →７７．５

の５回で、１８秒に１回、点Ｄを光ったまま通過するので、

②の１８～１８＋ａ （秒）の間にも点Ｄを光ったまま通過するので、

ここでは２７．５秒後に点Ｄを通過するとき、ライトが光ったまま

ということがわかります。

このことから、ａは１０以上になります。

③の３６～３６＋ａ （ａは１０以上なので、４６以上）では、

３７．５秒後に点Ｄを通過するときにライトが光っているので、

４７．５秒後に点Ｄを通過するときは

　　　ライトは消えていなければなりません。

このことから、ａ は１１以下となります。（３６＋１１＝４７）

つまり、ａは１０以上１１以下の整数なので、

１０または１１ であれば、条件（９０秒間に５回光ったまま

点Ｄを通過）を満たすことがわかります。

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