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2010年6月11日 (金)

図形の回転 第12問 (早稲田中学 2010年(平成22年度) 受験問題 算数)

 

問題 (早稲田中学 2010年 受験問題 算数) 難易度★★★

 下の図のように、四角形ABCDの辺ABが直線L 上に、辺BCが

直線M上にあります。四角形ABCDを直線Lのまわりに1回転して

できる立体の体積と、直線Mのまわりに1回転してできる立体の

体積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

 Pic_1575q

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解答

 CDをのばして直線Lとの交点をE とすると、下の図1のように

三角形BCE は直角二等辺三角形になります。

 Pic_1576a

直角二等辺三角形BCE を直線Lの周りに1回転させてできる立体と

直線Mの周りに1回転させてできる立体は同じ円すいになります。

 

この円すいと、四角形ABCDを直線Lの周りに1回転させてできる

立体(立体Pとします)と直線Mの周りに1回転させてできる立体

(立体Qとします)の体積比を求めることにします。

 

まず、直線Lの周りに1回転してできる立体Pについて、

下の図2のように、Dから直線Lに垂線DFを引くと、

 Pic_1577a

BC=9cm、DF=3cmなので、BC:DF=3:1より、

立体Pの体積:円すいの体積

 =3×3×3-1×1×1×2 : 3×3×3

 =25:27 となります。

 

 次に、直線Mの周りに1回転してできる立体Qについて、

下の図3のようにDから直線Mに垂線DGをおろし、DAの延長と

直線Mの交点をHとすると、

Pic_1578a

三角形BCEと三角形GCDの相似比が3:2より、

三角形BCEと三角形GCDを直線Mの周りに回転させた立体の

体積比は、3×3×3:2×2×2=27:8 となります。

 

同様に三角形DGHと三角形DGCが合同なので、

三角形BCEと三角形DGHを直線Mの周りに回転させた立体の

体積比も27:8となります。

 

三角形DGHと三角形ABHの相似比が2:1なので、

三角形DGHと四角形ABGDを直線Mの周りに回転させた立体の

体積比は、2×2×2 : 2×2×2-1×1×1=8:7 となります。

 

よって、下の図4のように、三角形BCEと四角形ABCDを

直線Mの周りに1回転させてできる立体の体積比は、

27:8+7=27:15 となります。

Pic_1579a

 

よって、三角形BCEと四角形ABCDを直線Lの周りに1回転させて

できる立体の体積比が、27:25

三角形BCEと四角形ABCDを直線Mの周りに1回転させてできる

立体の体積比が、27:15 なので、

 

四角形ABCDを直線Lの周りに1回転させてできる立体と

直線Mの周りに1回転させてできる立体の体積比は、

 25:15=5:3 となることがわかります。

 

 

 早稲田中学の過去問題集は → こちら

 早稲田中学の他の問題は → こちら

 

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