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2010年6月22日 (火)

場合の数 図形の選び方 第9問 (四天王寺中学 2010年(平成22年度) 受験問題 算数)

 

問題 (四天王寺中学 2010年 受験問題 算数) 難易度★★★★

      Pic_1600q

上の図は、1辺1cmの正方形を9枚ならべたもので、16個の

頂点には、1から16までの番号がついています。

 

Aの箱には、1から8までの数字が1つずつ書かれた8枚のカードが

入っています。 Bの箱には、9から16までの数字が1つずつ

書かれた8枚のカードが入っています。

 

Aの箱から1枚、Bの箱から2枚のカードを取り出し、カードに

書かれた数字の頂点を結んで三角形を作ります。

 

たとえば、3,9,14のカードを取り出した場合、カードに書かれた

数字の和は26で、三角形の面積は2c㎡ となります。

 

1,9,13のカードを取り出した場合は、三角形にならないので

面積は考えません。

 

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)三角形の面積が最も大きくなるカードの取り出し方は何通り

   ありますか。

 

(2)取り出したカードに書かれた数字の和が「35」になるカードの

    取り出し方のうち、面積が最小になるのは2通りあります。

   2通りのカードに書かれた数字を答えなさい。

 

(3)三角形ができないカードの取り出し方は何通りありますか。

 

(4)三角形ができるカードの取り出し方は何通りありますか。

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解答

 (1)三角形の面積は、「底辺の長さ×高さ÷2」 なので、

下の図1のように、底辺4cm、高さ4cmの三角形が考えられ、

   Pic_1601a

全部で 6通り となります。

 

 (2)カードの数の和が「35」になるのは、

(7,12,16)、(8,11,16)、(8,12,15)、(4,15,16)

などが考えられますが、三角形の面積が最小になるのは、

下の図2のように、底辺の長さが1cm、高さが1cmのときで、

   Pic_1602a

カードに書かれた数字は、

 (7,12,16)、(8,12,15) の2通りです。

 

 (3)三角形ができないのは、頂点が一直線にならんだ場合で、

①たてに一直線にならんだ場合・・・8通り

 (1,9,13)、(5,9,13)、 (2,10,14)、(6,10,14)、

 (3,11,15)、(7,11,15)、(4,12,16)、(8,12,16)

②ななめに一直線にならんだ場合・・・下の図3のように

   Pic_1603a

(1,11,16)、(6,11,16)、(4,10,13)、(7,10,13)、

(5,10,15)、(8,11,14)・・・6通り

 

よって、合計すると、8+6=14通り です。

 

 (4) 三角形ができるカードの取り出し方は、

【全てのカードの取り出し方 - 三角形ができない場合】

として求めることができます。

 

すべてのカードの取り出し方は、

 Aの箱から1枚 → 8通り

 Bの箱から2枚 → 8×7通り 

よって、8×8×7=448通り なので、

 三角形ができるカードの取り出し方=448-14=434通り

となります。

 

 

 四天王寺中学の過去問題集は → こちら

 四天王寺中学の他の問題は → こちら

 

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