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2010年6月25日 (金)

数の性質 第46問 (灘中学 2010年(平成22年度) 受験問題 算数)

 

問題 (灘中学 2010年 受験問題 算数) 難易度★★★★

 

 ある整数を11で割ると割り切れず、小数第2位の数は「3」

になり、13で割ると割り切れず、小数第1位の数は「6」に

なりました。ある整数として考えられる最小のものと、2番目に

小さいものを答えなさい。

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解答

 まず、ある整数を11で割ると割り切れない、ということは、

下の式1のようになり、

        Pic_1524a_2

式1の□には、1~10のどれかが入ります。それぞれについて

計算すると、計算結果は下の式2のようになり、小数点以下は、

9の倍数のくり返しとなります。

        Pic_1525a

このうち、小数第2位が「3」になるのは、分子が「7」のとき

なので、ある整数を11で割ったときのあまりが「7」ということが

わかります。

 

 同様にして、ある整数を13で割って割り切れないということは、

下の式3のようになり、

        Pic_1526a_2

式3の■には、1~12のどれかが入ります。小数第1位が「6」

なので、式3は、次のように書くことができます。

 

        ●●÷13=▲.6・・・

 もしくは、

        ■÷13=0.6・・・

 

 13×0.6=7.8・・・

 13×0.7=9.1・・・ という計算結果より、

■は7.8から9.1の間の整数なので、■=8または9 となります。 

 

 11の場合と同様に、計算すると、下の式4のようになり、

        Pic_1527a

同様にして、■=8または9 ということがわかります。

 

よって、ある整数を13で割ると、あまりが8または9になります。

 

ここまでをまとめると、

 ある整数は、11で割ると7あまり、13で割ると8または9あまる

ということがわかりました。

 

 この条件を満たす、ある整数を調べると、

11×0+7=7 → 7÷13 → あまり7

11+7=18 → 18÷13 → あまり5

22+7=29 → 29÷13 → あまり3

33+7=40 → 40÷13 → あまり1

40+11=51 → 51÷13 → あまり12

51+11=62 → 62÷13 → あまり10

62+11=73 → 73÷13 → あまり

73+11=84 → ・・・・・・・ → あまり6

84+11=95 → ・・・・・・・ → あまり4

95+11=106 → ・・・・・・ → あまり2

106+11=117 → ・・・・ → あまり0

117+11=128 → ・・・・ → あまり11

128+11=139 → ・・・・ → あまり

 

以上のことから、ある整数として考えられる最小のものは、73

2番目に小さいものは、139 です。

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 灘中学の他の問題は → こちら

 

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