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2010年6月 4日 (金)

立体図形の体積比 第4問 (城北中学 2010年(平成22年度) 算数受験問題)

 

問題 (城北中学 2010年 算数受験問題) 難易度★★★★★

Pic_1492q

(1)図1のように、立方体の4つの頂点を結ぶと、すべての辺の

   長さの等しい正三角すいを作ることができます。

   このとき、(立方体の体積):(三角すいの体積)の比を

   答えなさい。

(2)図2のように、立方体の6つの面の中心を結ぶと、すべての

   辺の長さの等しい正八面体を作ることができます。

   このとき、(立方体の体積):(八面体の体積)の比を

   答えなさい。

(3)図1の三角すいの1辺の長さと、図2の八面体の1辺の長さが

   等しいとき、(三角すいの体積):(八面体の体積)の比を

   答えなさい。

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解答

 (1)立方体の1辺の長さを1(cm)とすると、

 立方体の体積は、1×1×1=1(c㎥)で、

正三角すいの体積は、立方体から、下の図3の青い三角すいを

4個のぞいたもので、

        Pic_1493a

1-1×1÷2×1÷3×4=1/3 (c㎥) となります。

 

よって、立方体と三角すいの体積比は、

 1:1/3=3:1 です。

 

 

 (2)下の図4のように正八面体ABCDEFを考えます。

 Pic_1494a

正八面体ABCDEFは、四面体A-BCDE と四面体F-BCDE を

合わせたもので、四角形BCDE は正方形です。

 

AO=BO=CO=DO=EO=FO=1(cm) とすると、

立方体の1辺の長さは 2(cm) で、

  立方体の体積は、2×2×2=8(c㎥) です。

 

正方形BCDE の面積は、2×2÷2=2(c㎡) なので、

正八面体ABCDEF の体積は、

  2×1÷3×2=4/3 (c㎥) です。

 

よって、立方体の体積と正八面体の体積比は、

  8:4/3=6:1 です。

 

 

 (3)正三角すいと正八面体について、次の関係を知っていないと

解けません。

 

下の図5のように、正三角すいの各辺のまん中の点を結ぶと

正八面体を作ることができます。

Pic_1495a_2

図5より、正三角すいA-EFG と正八面体EFGHIJ の1辺の長さが

等しいことがわかります。

 

求めるのは正三角すいA-EFGと正八面体EFGHIJの体積比です。

 

三角すいA-BCDと三角すいA-EFGは相似で、相似比が1:2 より、

体積比は、1×1×1:2×2×2=1:8 となります。

 

正八面体EFGHIJは、正三角すいA-BCD から、A-EFGを4個

除いたものなので、

 正三角すいA-BCDの体積を8(c㎥)、

 正三角すいA-EFGの体積を1(c㎥)とすると、

正八面体EFGHIJの体積は、8-1×4=4(c㎥) となります。

 

よって、辺の長さの等しい正三角すいの体積と

正八面体の体積比は、1:4 とわかります。 

 

 

 【関連問題

 立体図形の体積比 (城北中学 2007年)

 

 城北中学の過去問題集は → こちら

 城北中学の他の問題は → こちら 

 

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コメント

(3)ですが、正四面体と正八面体の関係を別に知らなくても、(1)、(2)の結果を使えば、比較的簡単に解けるのではないでしょうか。すなわち、
・図1の正四面体と図2の正八面体の体積比は2:1。
・図1の正四面体の1辺の長さと図2の正八面体の1辺の長さの比は2:1(立方体の一面の正方形の対角線:立方体の一面の正方形の中点どうしを結んだ線)なので、図2の正八面体の各辺を2倍(すなわち体積は2x2x2=8倍)すれば、1辺の長さが同じになる。
・すなわち、1辺の長さが同じとき正四面体と正八面体の体積比は2:1x8=1:4。
・(1)と(2)はよくある問題なので、当門の星印はせいぜい、★★★くらいだと思いますが、いかがでしょうか。

投稿: horihori | 2010年6月 4日 (金) 22時50分

すみません。
当門→当問題でした。

投稿: horihori | 2010年6月 4日 (金) 22時53分

horihoriさん、コメントありがとうございます。

そうですね、おっしゃるとおり、(1)で3:1(6:2)、(2)で6:1 と
求めたので、同じ立方体の中の正三角すいと正八面体の
体積比は、②:①、それぞれの辺の長さの比が2:1です。

長さの比が2:1のとき、体積比は②:①

求めるのは、長さの比が2:2のときの体積比なので、

長さを1→2にするには、正八面体を相似比1:2に大きくすればよく、
すると、体積は比で①:⑧になって、
正三角すいと正八面体の体積比は、②:⑧→1:4と
求められますね。

こちらの解法の方がすっきりしていて良さそうですね。

立体図形問題は受験生にとって理解しにくい分野ですし、
この問題が立体図形と比の融合問題である点や、
短い時間内に解法のポイントに着眼できるかどうか
という観点からすると、やはりこの問題の難易度は
高いものになるのではないかと個人的に思います。

このような問題をクリアすることで、地力をつけて
いってほしいと思っております。

これからもご指摘よろしくお願い致します。

投稿: 桜組 | 2010年6月 5日 (土) 09時52分

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