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2010年6月24日 (木)

和と差 第20問 (算数オリンピック・ファイナル 2009年(平成21年度))

 

問題 (算数オリンピック・ファイナル 2009年) 難易度★★★★

 2けたの整数が4つあります。それぞれの数同士の和と差を

すべて書くと、大きい方から次のようになりました。

 

 93,83,81,49,47,46,44,37,34,12,10,2

 

このとき、4つの整数を答えなさい。

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解答

 4つの整数を大きい方からA,B,C,Dとすると、

A+B が最も大きくなり、A+B=93 ・・・① です。

 

A+C とB+C ではA+C の方が大きいので、

2番目に大きいのは、A+C=83 ・・・② とわかります。

 

①と②から、BとCの差が10であることがわかり、

  B-C=10 ・・・③ です。

 

①から、A+B=93 なので

  は、93÷2=46.5より大きく、47以上とわかります。

(A+B=92+1=91+2=・・・=47+46=46+47

 

このことから、Dも2けたの整数なので、A+D=81 ・・・④

ということがわかります。

  

②と④より、C-D=2  ・・・⑤、B-D=12 ・・・⑥とわかります。

 

①~⑥から、

 B,C,Dが偶数なら、Aは奇数

  B,C,Dが奇数なら、Aは偶数

という関係がわかります。 

 

残りの数は、49,47,46,44,37,34 の6つで、これは

A-B、A-C、A-D、B+C、B+D、C+D に相当します。

 

C-D=2なので、

 B+C と B+D の差、 A-C と A-D の差 が共に2です。

 

差が2になる2つの数は、49と47、46と44 があります。

すると、残りの34と37が C+D または A-B ということです。

 

CとDは奇数同士または偶数同士なので和は偶数です。

よって、C+D=34 ・・・⑦で、A-B=37 ・・・⑧となります。

 

⑤より、C-D=2、⑦より、C+D=34 で、

 C=18、D=16

①より、A+C=83より、A=65 、

⑥より、B-D=12より、B=28 と求めることができ、

 4つの整数は、65,28,18,16 とわかります。

 

 

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