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2010年6月18日 (金)

規則性の問題 操作 第12問 (海城中学 2009年(平成21年度) 受験問題 算数)

 

問題 (海城中学 2009年 受験問題 算数) 難易度★★★★

 

 ある数に対して次の操作を行います。

  操作A:2倍して1を引く

  操作B:偶数なら2で割り、奇数なら1を足して2で割る

 このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)3から始めて、操作Aを5回くり返して得られる数を答えなさい。

 

(2)操作Bをくり返すと、次第に数は小さくなっていきます。

   2009から始めるとき、操作Bを何回くり返えすと初めて1に

   なるか答えなさい。

 

(3)3から始めて、操作Aと操作Bを合わせて5回行ったあとに

   得られる数が17になるような操作手順は何通りかあります。

   操作手順を以下のように書き表すとき、すべての操作手順を

   答えなさい。

 

  【操作手順の表し方】

  1回目がA、2回目がB、3回目がA、4回目がA、5回目がB

  のとき、【ABAAB】と表します。

  

(4)11から始めて【2倍して□を引く】操作を5回くり返したとき、

   得られた数が73でした。□にあてはまる数を答えなさい。

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解答

 (1)「3」に対して、「2倍して1を引く」を5回くり返すと、

1回目:3×2-1=5

2回目:5×2-1=9

3回目:9×2-1=17

4回目:17×2-1=33

5回目:33×2-1=65

 よって、65です。

 

 

 (2)「2009」に対して、「偶数なら2で割り、奇数なら1を足して

2で割る」ことをくり返すと、

 1回目:(2009+1)÷2=1005

 2回目:(1005+1)÷2=503

 3回目:(503+1)÷2=252

 4回目:252÷2=126

 5回目:126÷2=63

 6回目:(63+1)÷2=32

 7回目:32÷2=16

 8回目:16÷2=8

 9回目:8÷2=4

10回目:4÷2=2

11回目:2÷2=1

 

このように、11回目で初めて1になります。

 

 

 (3)3から始めて、操作A,Bを合わせて5回行うと17になるので、

まず、5回目の操作の前の数を計算すると、操作Aを行って17に

なったときは、9×2-1=17より、9

 操作Bを行って17になったときは、

34÷2=17 、 (33+1)÷2=17 より、34,33が考えられ、

下の図1のようになります。

        Pic_1533a

 ここで、(1)より、「3」に対して操作Aを4回くり返すと「33」に

なるので、AAAAB という操作で17になることがわかります。

 

また、操作Aをくり返すと数は大きくなり、操作Bをくり返すと

数が小さくなり、操作Aを4回くり返しても「33」にしかならない

ので、操作A,Bを行っても4回目で「34」にできないことが

理解できます。

 

よって、次に考えるのは、「3」から始めて4回目で「9」に

なる操作手順を見つけることです。

 

 4回目の操作の前の数を調べると、

操作Aを行ったとき、5×2-1=9 より、5

操作Bを行ったとき、18÷2=9、(17+1)÷2=9 より、18,17

が考えられ、下の図2のようになります。

        Pic_1534a

ここで、(1)より、「3」に3回操作Aを行うと「17」になるので、

AAABA という操作で「17」になることがわかります。

5回目の操作と同様に、「18」にできないので、次に考えるのは

3回目の操作後に「5」になる操作手順を見つけることです。

 

同様にして調べると、下の図3のようになります。

       Pic_1535a

(1)より、「3」に対して2回操作Aをくり返すと「9」になるので、

AABAA という操作で「17」になることがわかります。

また、2回の操作で「10」を作れないので、次に考えるのは

2回目の操作後に「3」になる操作手順を見つけることです。

 

同様にして調べると、下の図4のようになります。

       Pic_1536a_2

(1)より、操作Aを1回行うと「5」になるので、

ABAAA の操作手順で「17」になることがわかります。

1回の操作では「6」を作ることができず、

「3」に操作Bを1回行うと「2」になるので、

BAAAAの操作手順で「17」になることがわかります。

 

ゆえに、 BAAAA,ABAAA,AABAA,AAABA,AAAAB

5通りとなります。

 

 

 <別解>

「3」から始めて操作A,Bを合わせて5回行う操作手順を

樹形図を描くと、下の図5のようになります。

Pic_1537a

図5より、3から始めて17になるのは、

AAAAB、AAABA、AABAA、ABAAA、BAAAA の5通り

とわかります。

 

 

 (4)11から始めて「2倍して□を引く」を5回くり返すと、

  1回目・・・11×2-□

  2回目・・・(11×2-□)×2-□=11×4-□×3

  3回目・・・(11×4-□×3)×2-□=11×8-□×7

  4回目・・・(11×8-□×7)×2-□=11×16-□×15

  5回目・・・(11×16-□×15)×2-□=11×32-□×31

 となるので、

  5回目の操作の結果:11×32-□×31=73 より、

  (11-□)×31+11=73 から、□=9 となります。

 

 

 <別解>

(1)より、「3」から始めて「2倍して1を引く」操作をすると、

3に対して、

 1回目:3×2-1=5

 2回目:5×2-1=9

 3回目:9×2-1=17

 4回目:17×2-1=33

 5回目:33×2-1=65

となり、3→5→9→17→33→65 となっており、差をみると、

  3+=5

  5+=9

  9+=17

 17+16=33

 33+32=65

2、2×2、2×2×2、2×2×2×2、2×2×2×2×2 です。

・・・() 

  

「11」から始めて「2倍して□を引く」操作を5回くり返すと、

はじめ・・・11

1回目の操作後・・・11×2-□

2回目の操作後・・・(11×2-□)×2-□

・・・・・

 

ここで、(11×2-□)-11=11-□

{(11×2-□)×2-□}-(11×2-□)

 =11×2-□-□=(11-□)×2

 

 (*)より、11-□、(11-□)×2、(11-□)×2×2、・・・

のように差ができることがわかります。

 (*)の最初の2は、「」について、【2倍してを引く】ことの、

 3と1の差:3-1=2 について表していたのですね。

 

 11から始まって、5回目の操作で73になるには、

11+(11-□)×(1+2+2×2+2×2×2+2×2×2×2)

   =73

より、11+(11-□)×31=73 となり、これを解くと、

□=9 ということがわかります。

 

 

 海城中学の過去問題集は → こちら

 海城中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

(2)の解答で”5回目:126÷2=61”としているため間違った結果になっています。

投稿: 万打無 | 2010年9月19日 (日) 10時08分

万打無さま

ご指摘のとおり、解答に誤りがありました。
ありがとうございます。

以後ミスのないよう心がけていこうと思いますが、
また気づいたことがございましたら、ご連絡
くださると幸いです。

投稿: 桜組 | 2010年9月21日 (火) 16時12分

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