規則性の問題 ｎ進法 第５問 （徳島文理中学 2009年（平成21年度） 受験算数問題）

問題　（徳島文理中学　2009年　受験算数問題）　難易度★★★

　２種類の光り方をするライトがあります。このライトが消えている

状態を「●」、うす灯りを「○」、点灯を「◎」として、このライトを４個

用いて、次のように整数を表していきます。

　　０・・・●●●●　　１・・・●●●○

　　２・・・●●●◎　　３・・・●●○●

　　４・・・●●○○　　６・・・●●◎●

　　７・・・●●◎○　　８・・・●●◎◎

　１１・・・●○●◎　４０・・・○○○○

　５４・・・◎●●●

このとき、次の問に答えなさい。

（１）整数「５」を●、○、◎を用いて表しなさい。

（２）●○○● で表される数は３の倍数かどうか答えなさい。

（３）◎○●◎ で表される数を答えなさい。

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解答

　（１）０，１，２，３の関係から、●→○→◎の順に数が大きくなり、

「３」が●●○●なので、◎までいくと次の位にくり上がることが

わかります。

●●●● について、

右から一の位、十の位、百の位、千の位とすると、

　　　３・・・●●○●、４・・・●●○○

　　　７・・・●●◎○、８・・・●●◎◎

なので、「１」増えると、一の位が

●→○ 、○→◎ となっているので、

「５」では、「４」の一の位が、○→◎となれば１増え、

●●○◎ となります。

　＜別解＞

４＝１＋３ で、１＝●●●○、３＝●●○● 、４＝●●○○ より、

下の図のように筆算で表すことができ、

　　　　　

それぞれの位では、●＋○＝○ 、○＋○＝◎となっています。

この考え方で「５」を表すと、５＝２＋３ なので、

５＝●●○●＋●●●◎＝●●○◎ と考えることができます。

　（２） （１）より、●＝０、○＝１、◎＝２ として考えられ、

●→○→◎→次の位にくり上がる ので、【３進法】となります。

一の位は、×１、十の位は、×３、百の位は、×３×３、千の位は

×３×３×３ ということです。　

たとえば、●●◎○は、◎＝２、○＝１なので、２×３＋１＝７ で、

●○○●＝１×３×３＋１×３＝１２ なので、３の倍数となります。

　＜別解＞

一の位に着目すると、

　　　●のもの・・・０、３，６，５４

　　　○のもの・・・１，４，７，４０

　　　◎のもの・・・２，８，１１

となっていて、

　　　３で割り切れるものは、一の位が●

　　　３で割って１あまるものは、一の位が○

　　　３で割って２あまるものは、一の位が◎　

となっていることがわかるので、

　●○○● は、３で割り切れる → ３の倍数である と言えます。

　（３）◎○●◎＝２×３×３×３＋１×３×３＋０×３＋２×１

　　　　　　　　　 ＝６５ です。

　＜別解＞

◎○●◎＝◎●●●＋●○●◎

　　　　　　＝５４＋１１＝６５ と求めることができます。　

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