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2010年6月 3日 (木)

立体図形の切り口 八面体 第20問 (早稲田実業中等部 2009年(平成21年度) 入試問題 算数)

 

問題 (早稲田実業中等部 2009年 入試問題 算数) 

     難易度★★★★

 

 下の図は、同じ大きさの正三角形4つで囲まれた図形で、

正四面体ABCDです。この正四面体ABCDの各辺AB,AC,

AD,BC,BD,CDのまん中の点をそれぞれ、E,F,G,H,I,J

とするとき、次の問に答えなさい。

Pic_1501q

(1)正四面体ABCDから4つの正四面体AEFG、正四面体BEHI、

   正四面体CFHJ、正四面体DGIJを取り除いた立体を「」と

   します。立体「」の面の数と辺の数を答えなさい。

 

(2)立体「 」の各辺EF,FH,EGのまん中の点をそれぞれ

   P,Q,R とします。AB=12cmのとき、次の問に答えなさい。

   ①PQの長さを求めなさい。

   ②立体「 」を3点P,Q,Rを通る平面で切ったとき、切り口の

     面積は、三角形ABCの面積の何倍ですか。

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解答

 (1)図にE,F,G,H,I,Jを記入すると、下の図1のようになり、

Pic_1502a

正四面体ABCDから4つの正四面体AEFG、正四面体BEHI、

正四面体CFHJ、正四面体DGIJを取り除いた立体「」は、

下の図2のようになり、

Pic_1503a_2

正八面体であることがわかります。よって、その面と辺の数は、

 面・・・8面

 辺・・・12本 となります。

 

 (2)P,Q,Rを図に記入すると、下の図3のようになります。

Pic_1504a

①PQの長さは、下の図4のように、三角形PQFは正三角形なので

Pic_1505a

PQの長さ=12÷2÷2=3cm とわかります。

 

②図4を利用して、3点P,Q,Rを通る平面の切り口を考えると、

下の図5のように、BC上のK、AB上のLを通ることがわかります。

Pic_1506a

図3にKから、PRと平行な線を引き、BDとの交点をMとすると、

下の図6のように、点RはLM上にあることがわかります。

Pic_1507a

立体BKLMも正四面体であることがわかり、面KLMと面BKLが

等しいので、下の図7のように切り口を表すことができます。

 Pic_1508a

すると、切り口の面積は、三角形ABCの

6/16=3/8(倍)であることがわかります。

 

 

 【関連問題

  立体図形の切り口 

  (栄光学園中学 2000年、豊島岡女子学園中学 2009年)

 

 早稲田実業学校中等部の過去問題集は → こちら

 早稲田実業中等部の他の問題は → こちら

 

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