場合の数 並べ方 第３１問 （開成中学 2006年（平成18年度） 入試問題 算数）

問題　（開成中学　2006年　入試問題　算数）　難易度★★★

　１００円玉を投げて、着地したときに表の面が上に出たら○を、

裏の面が上に出たら×を記録することにします。

　１００円玉を６回投げて、その表裏に応じて○か×をマス目に

左から順に書き入れます。このとき、次の決まりに従って点数が

得られます。

　①　○１つにつき、２点を得る

　②　×１つにつき、１点を得る

　③　「×のすぐ右に○がある」場所が１ヶ所あるごとに３点を得る

たとえば、１００円玉を６回投げて、順に表、裏、表、表、表、裏が

出たとすると、下の図のような○×の配列ができます。

　　　　　

○が４つ、×が２つあり、×のすぐ右に○がある場所が１ヶ所

あるので、得点は、

　２×４＋１×２＋３×１＝１３点 となります。

このとき、次の問に答えなさい。

　（１）得点が１５点となるような○×の配列を１つ書きなさい。

　（２）得点が１１点となるような○×の配列をすべて書きなさい。

----------------------------------------------

----------------------------------------------

解答

　（１）すべて○のとき、点数は、２×６＝１２点 となるので、

○と×を組み合わせなければ１５点にはなりません。

×が１ヶ所増えると、○→×になるので、１点減ります。

右に○があれば、３点増えるので、合わせて２点増えることに

なります。

　１２点の配列　：　○○○○○○

このうち、２つの○を×に変えれば、４点増えて１６点になり、

１つの○を右となりに○がないように×にすれば、１点減って

１５点になります。

よって、次のような例を考えることができます。

　××○×○○　○××○×○　×○××○○　○×○××○

　○×○×○×　××○○×○

　（２）○６個で１２点だったので、○○○○○○の最も右の○を

×にすれば１点減り、１１点となります。

　○○○○○×

○が４個のときは、×は２個となるので、

　４×２＋２×１＝１０点　となり、１１点を作ることはできません。

○が３個のときは、×は３個となるので、

　３×２＋３×１＝９点　となり、１１点を作ることはできません。

○が２個のときは、×は４個となるので、

　２×２＋４×１＝８点 となり、１ヶ所【×○】があれば１１点です。

○２個がならんでいるとき、

×○○×××、××○○××、×××○○×、××××○○、

１つの○が一番左にあるとき、

○×○×××、○××○××、○×××○×、○××××○

以上８通りがあります。

○が１個のとき、×が５個となるので、

　２×１＋１×５＝７点　で、１１点にすることはできません。

×が６個のときは、６点なので１１点にできません。

よって、１１点になるような○×の配列は、

　○○○○○×

　×○○×××、××○○××、×××○○×、××××○○、

　○×○×××、○××○××、○×××○×、○××××○

以上、９通り となります。

　開成中学の過去問題集は　→　こちら

　開成中学の他の問題は　→　こちら