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2010年6月28日 (月)

最短ルート 第5問 (栄光学園中学 2005年、大阪桐蔭中学 2010年 受験算数問題)

 

問題 (栄光学園中学 2005年、大阪桐蔭中学 2010年

     受験算数問題) 難易度★★★

 

 下の図のように、1辺の長さ10cmの正三角形4面で囲まれた

立体OABCがありまる。辺ACのまん中の点をMとし、辺OB、OC

上にそれぞれ点P,Qをとり、図のように直線AP,PQ,QMを

結びます。直線AP,PQ,QMの長さの和が最小になるとき、

AP:PQ:QMの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

  Pic_1632q

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解答

 立体OABCの展開図を下の図1のように描くと、

AP+PQ+QMの和が最小になるのは、青線のときとわかります。

Pic_1633a_2

図1のとき、三角形ABPと三角形AA’Mが相似で、

AO=OA’ より、AP=PMAP:A’M=1:2 ということが

わかります。

 

次に、PQ:QMは、下の図2のように三角形OPQとCMQが

相似であることから求めることができ、

Pic_1634a

OP:CM=OP:A’M=1:2 より、

PQ:QM=1:2 とわかります。

 

よって、比をそろえると、AP:PQ:QM=3:1:2 となります。

 

 

 栄光学園中学の過去問題集は → こちら

 大阪桐蔭中学の過去問題集は → こちら

 栄光学園中学の他の問題は → こちら

 大阪桐蔭中学の他の問題は → こちら

 

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