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2010年6月 2日 (水)

数の性質 第44問 (12の倍数) (灘中学 1999年(平成11年度) 受験問題 算数)

 

問題 (灘中学 1999年 受験問題 算数) 難易度★★★

 次のように、2つの整数の積を作ります。

  1×1998、2×1997、3×1996、・・・、999×1000

 これら999個のうち、12で割り切れるものは何個ありますか。

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解答

 999個の積は、すべて「奇数×偶数」または「偶数×奇数」です。

 

12で割り切れるには、

 ①片方が12の倍数である

 ②ともに12の倍数ではないが、積になることで12の倍数になる

のどちらかの条件が必要です。

 

 ①について、まず積の左側(1,2,3、・・・)は、12番目(12)が

割り切れます。

 次に右側(1998,1997、・・・)は、

1998÷12=166あまり6なので、

1992÷12=166 より、

 1×1998、2×1997、3×1996、4×1995、5×1994、

 6×1993、7×1992、8×1991、9×1990、10×1989、

11×1988、12×1987 となり、

 12個のうち2個が割り切れることがわかります。

 

 次に②について、12=2×6=3×4 で、

積がすべて「奇数×偶数」または「偶数×奇数」なので、

奇数側が3の倍数で、偶数側が4の倍数であるものは、

12で割り切れることがわかります。

(2の倍数×6の倍数は、偶数×偶数になるため)

 

①と②をあわせると、下の太字のものが12で割り切れ、

 1×1998、2×1997、3×19964×1995、5×1994、

 6×1993、7×1992、8×1991、9×1990、10×1989、

11×1988、12×1987 となり、

 12個のうち、4個が12で割り切れることがわかります。

 

 あとは同じことの繰り返しで、

999÷12=83あまり3 より、

 83×4+1=333個 が12で割り切れることがわかります。

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 灘中学の他の問題は → こちら

 

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