規則性の問題 数の並び 第２６問 （慶應義塾湘南藤沢中等部 2010年（平成22年度） 受験算数問題）

問題　（慶應義塾湘南藤沢中等部　2010年　受験算数問題）

　　　　 難易度★★★★

　大きさの異なる正方形のカードを、下の図のようにある規則に

従ってならべます。それぞれのカードには、たて横１ｃｍのマスが

描かれてあり、左から１，２，３，・・・と順番に数字が書かれてい

ます。このとき、次の問に答えなさい。なお、「左下のマスの数」とは、

１枚目では「１」、２枚目では「７」、３枚目では「２１」を指します。　

（１）１辺が２１ｃｍのカードの「左下のマスの数」を答えなさい。

（２）「左下のマスの数」が１０５７であるカードは何枚目ですか。

（３）「左下のマスの数」の１の位の数が３であるカードは、

　　 １枚目から１００枚目までのうち何枚ありますか。

----------------------------------------------

----------------------------------------------

解答

　（１）１辺が２１ｃｍのカードは、下の図１のように、

「右上のマスの数」が２１になります。

　　　　　　

すると、図１の「Ａ」のマスには、２１×２１ の数が入り、

「Ｂ」のマスには、２１×２０＝４２０ が入り、

「左下のマス」の「Ｃ」に入る数は、４２０＋１＝４２１ とわかります。

　（２） 「左下のマスの数」が１０５７のときのカードは、下の図２の

ようになります。「右上のマスの数」を□とすると、「右下のマスの

数」は、□×□となり、その１つ上の１０５６は、□×（□－１）で、

　　　　　

１０５６を因数分解すると、

　１０５６＝２×５２８＝８×１３２＝３２×３３

となることから、□＝３３ ということがわかります。

３３マスあるカードは、（３３＋１）÷２＝１７枚目 です。

（３３は、奇数で１７番目ということ）

　（３）１枚目から順に「左下のマスの数」の１の位の数を見ていくと、

１枚目・・・１

２枚目・・・２×３＋１＝７

３枚目・・・４×５＋１＝２１

４枚目・・・６×７＋１＝４３

５枚目・・・８×９＋１＝７３

６枚目・・・１０×１１＋１＝１１１

７枚目・・・１２×１３＋１＝■■７

８枚目・・・１４×１５＋１＝■■１　

・・・

　このように、１の位の数は、「１，７，１，３，３」がくり返され、

５枚ごとに２枚は「３」があるので、１００枚目までのうち、

　１００÷５×２＝４０枚 のカードの「左下のマスの数」の１の位が

３であることがわかります。　

　慶應義塾湘南藤沢中等部の過去問題集は　→　こちら

　慶應義塾湘南藤沢中等部の他の問題は　→　こちら