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2010年5月14日 (金)

魔方陣 第6問 (東大寺学園中学 2006年(平成18年度) 受験問題 算数)

 

問題 (東大寺学園中学 2006年 受験問題 算数)

     難易度★★★★★

 

 4つの円ア、イ、ウ、エが下の図のように交わり、10個の部分に

分かれています。この10個の部分に0~9までの10個の数字を

同じ数は使わないように、しかも各円内の数字の和が同じ値

(Aとする)になるようにわりあてます。

Pic_1452q

たとえば図1では、

 円(ア)の和は、9+0+3+4+7=23

 円(イ)の和は、0+3+4+7+2+6+1=23

 円(ウ)の和は、3+4+2+6+8=23

 円(エ)の和は、4+7+6+1+5=23

となり、A=23 です。

 

(1)下の図2の□にあてはまる数を答えなさい。

Pic_1453q

(2)①Aの値のうち、最も小さい数を答えなさい。

   ②下の図3において、Aの値が最も小さくなるように

     □に数字をあてはめなさい。

Pic_1454q

(3)下の図4の□に数をあてはめなさい。

Pic_1455q_2

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解答

 (1)図2は、下の図5のように円イの中の数がすべてわかるので

Pic_1456a

円イの中の数の和=3+1+4+5++2+7+0=22

となり、円ア、ウ、エにある数との差を求めることで、

□に入る数がわかりますが、ここで、円の重なった部分に

注目すると、下の図6のように

Pic_1457a_2

円アと円イでは、黄色い部分が共通なので、

残りの X と 2+7+0 が等しいことがわかります。

すなわち、X=9 です。

 

同様に、Y=3+5+0=、Z=3+1+2=と求められます。

 

 

 (2)①4つの円の関係を考えると、円イの7個の数の和=Aです。

10個の数の和は、0+1+2+・・・+9=45 なので、下の図7の

ように、円イ以外の数をX,Y,Zとすると、

Pic_1458a

A+(X+Y+Z)=45 となります。

 

ここで、Aの値が最も小さくなるようにするには、

X+Y+Z=9+8+7 として大きい方から順に数を除けば

Aの値が最も小さくなることがわかります。

 このとき、Aの値は、45-(9+8+7)=21 です。

 

『Aの値が21より小さくなることもあるんじゃないの?!』

と考える方がおられるかもしれません。では、Aが21より

小さくなったらどうなるか考えましょう。

 

下の図8のように、円イを大きい黄色い円で表し、Aの値を書くと、

 Pic_1459a

A=21のときは、成り立っています。

A=20にすると、Aが1減っているので、外側の数を増やして

あげないといけませんが、図のように同じ数を使うことになり、

問題の条件に合わなくなります。

 

よって、Aの値のうち、最も小さい数は21ということです。

  

 

 (2)② 図3で、Aの値が最も小さくなるのは、円ウに「8」が

書かれているので、①の場合、すなわちA=21にすることが

できます。下の図9のX,Yには、「9」か「7」が入ります。

Pic_1460a

P,Q,R,Sには、残る「2」、「3」、「5」、「6」のどれかが入ります。

 

次にまずわかるのは、下の図10のように円イとウを比べると、

Pic_1461a

8=4+Q+1 となるので、Q=3 とわかります。 

 

次に、円イとエを比べてみると、下の図11のように、

Pic_1462a

Y=4+P+0 ということがわかります。

ここで、Yは「9」か「7」でした。

 Y=9 のとき、P=5 です。

 Y=7 のとき、P=3 です。しかし3はすでにQの場所にあるので

Y=9P=5 ということになります。したがって、X=7です。

 

最後に円アとイを比べてみると、下の図12のように

Pic_1463a

7=0+S+1 なので、S=6 とわかります。最後に残ったR=2で、

それぞれの円の数の和A=21になり、下の図13のようになります。

Pic_1464a

 

 

 (3)まず、すでに書かれている数「5」、「4」が含まれる円アとイ

について比べてみると、下の図14のように、

Pic_1465a

5=4+S+U ということから、SとUは「0」と「1」のどちらか

ということがわかります。

 

次に、S,Uが含まれる円イとエについて比べてみると、下の図15

のように、

Pic_1466a

Y=P+T+4 となることがわかります。

0,1,4,5が現れているので、残っている数は、

2,3,6,7,8,9 の6個で、 Y=P+T+4 を満たすのは、

P,T に小さい方から2,3をいれたときにY=9 となる場合です。

 

よって、Y=9で、P,Tには2か3が入ることがわかります。

 

X,R,Qには、残った6,7,8のどれかが入ることになります。

 

次に、Xについて図8のように考えると、下の図16のように、

Pic_1467a

Xの値とAの値の関係ができます。それぞれ調べると、

X=6のとき、下の図17のように

Pic_1468a

 円ウの数の和は、最も大きいときでも、6+4+3+8+1=22

となり、A=25にはならないので、Xは「6」ではありません。

 

次に、X=7のとき、下の図18のように

Pic_1469a

円ウの数の和は、最も大きいときで、7+4+3+8+1=23

なので、A=24にならないので、X=7でもありません。

 

よって、X=8のとき、下の図19のようになり、

Pic_1470a

円ウの数の和が、8+4+3+7+1のとき、A=23となり、

4つの円の数、それぞれの和が23となります。

 

ゆえに、すべての数は下の図20のようになります。

Pic_1471a

 

 

 東大寺学園中学の過去問題集は → こちら

 東大寺学園中学の他の問題は → こちら

 

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