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2010年5月 7日 (金)

食塩水の濃度 第4問 (大阪星光学院中学 2010年(平成22年度) 入試問題 算数)

 

問題 (大阪星光学院中学 2010年 入試問題 算数) 

     難易度★★★★ 

 

ビーカーAに食塩水が100g、ビーカーBに食塩水が200g、

ビーカーCに食塩水が300gそれぞれ入っています。

 

まず、Aから50gを取り出してBに入れてよくかき混ぜました。

次に、Bから150gを取り出してCに入れてよくかき混ぜました。

最後に、Cから150gを取り出してAに入れてよくかき混ぜました。

 

すると、Aの食塩水の濃度は最初の半分に、Bの食塩水の濃度は

最初の2倍に、Cの食塩水の濃度は5%になっていました。

このとき次の問に答えなさい。

 

(1)ビーカーAとビーカーBに最初に入っていた食塩水の濃度の

   比を求めなさい。

(2)ビーカーA,B,Cに最初に入っていた食塩水の濃度は、

   それぞれ何%だったか求めなさい。

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解答

 (1)まず、ビーカーA,B,C の食塩水の量がどのように

移り変わっていったのか、下の図1のように図にして分かりやすく

してみましょう。

   Pic_1400a

ビーカーAとビーカーBの最初の濃度の比を求めるので、

A,Bのそれぞれの食塩水の移動を図1から見てみると、

 

ビーカーAは、50g減った後、A,B,Cの混ざった150gが入り、

ビーカーBは、Aが50g加わっただけで、濃度が2倍になっている

ことがわかります。

 

 Aが加わってBの濃度があがっているので、Aの方がBより

濃度が高いことがわかります。

 

最初のビーカーAの食塩水の濃度をA%、ビーカーBの食塩水の

濃度をB%として、天秤算を用いると、下の図2のようになります。

 (天秤算の理解は → こちらを参照)

      Pic_1401a

 Bが200g、Aが50gなので、B%とA%の間を

200:50=4:1のの1:4に分けたところが、Bの2倍の濃度、

すなわち2×B%になります。

 すると、図2から①=B(2×BとBの差)となり、④=4×Bで、

A%=2×B%+④=2×B+4×B=6×B% とわかります。

 

よって、最初のビーカーAとBの食塩水の濃度の比A:Bは、

6×B:B=6:1 と求められます。

 

 

 (2)濃度で具体的にわかっているのは、最後のCの濃度が

5%になったことだけなので、図1から、最後のCからAへ

食塩水を移動させた部分だけを表した下の図3に注目します。

   Pic_1402a

(1)より、Aの最初の濃度が6×B%、最後が半分の3×B%、

Bの最後の濃度が2×B%と表すことができます。

 

Aの濃度が減っているので、5%より6×B%の方が濃度が高い

ことがわかり、図3の食塩水の移動を天秤を用いて表すと、

下の図4のようになります。

    Pic_1403a

図3より、③=6×B-3×B=3×B なので、①=B%に相当し、

5%=3×B-①=3×B-B=2×B% とわかるので、

B%=2.5% であることが求められます。このことから、

A%=6×B=6×2.5=15% と求められます。

 

ビーカーA,Bの食塩水の最初の濃度がわかったので、

残すはビーカーCの食塩水の最初の濃度(C%とします)です。

 

図1より、ビーカーCには、

 AとBの混ざった食塩水(2×B%=5%)150gと

 C%の食塩水300gが混ざって5%の食塩水450gに

 なっています。

5%のものとC%のものを混ぜて5%になったということは、

C%は、そもそも5%だったことを表しています。

 

よって、ビーカーA,B,Cに最初に入っていた食塩水の濃度は、

A:15%、B:2.5%、C:5% です。

 

 

 大阪星光学院中学の過去問題集は → こちら

 大阪星光学院中学の他の問題は → こちら

 

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