図形の移動 第２２問 （甲陽学院中学 2008年（平成20年度） 受験問題 算数）

問題　（甲陽学院中学　2008年　受験問題　算数）　難易度★★★

　　　　　　

　上の図のように、１辺１０ｃｍの正三角形ＡＢＣの外側に、１辺

１ｃｍの正三角形ＤＥＦがあり、各辺はそれぞれ正三角形ＡＢＣの

辺と平行です。この正三角形ＤＥＦは、各辺がそれぞれ正三角形

ＡＢＣの辺と平行なまま、正三角形ＡＢＣの辺からはなれないまま

外側を一周します。このとき、次の問に答えなさい。

（１）頂点Ｄが動いてできる線の長さを求めなさい。

（２）正三角形ＤＥＦが動いてできる図形の面積は、

　　 正三角形ＤＥＦの面積の何倍ですか。

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解答

　（１）正三角形ＤＥＦの頂点が、正三角形の頂点と重なったときに

どのように動くか考えると、まず下の図１のように、頂点ＦとＢが

重なったとします。

　　　　

次に、正三角形ＤＥＦは、正三角形ＡＢＣとはなれないまま移動

するので、下の図２のように、

　　　

辺ＡＣと平行に正三角形ＤＥＦは移動し、頂点Ｄが頂点Ｂと

重なったあとは、辺ＢＣと平行に移動していきます。

このことを参考にして、頂点Ｄが動いてできる線を図示すると、

　　　

上の図３のようになり、緑の線は１０ｃｍ、青い線は１ｃｍなので、

頂点Ｄが動いてできる線の長さは、

　１０×３＋１×３＝３３ｃｍ です。

　（２）図３より、正三角形ＤＥＦが動いてできる図形は、

下の図４のようになります。

　　　

図４の緑の部分は、正三角形ＤＥＦ３個分の面積×３ に等しく、

青い部分は、下の図５のように、

　　

正三角形ＡＢＣの１辺が１０ｃｍ、正三角形ＤＥＦの１辺が１ｃｍ

なので、１０＋９＝１９個分の面積と等しいことがわかります。

よって、正三角形ＤＥＦが動いてできる図形の面積は、

正三角形ＤＥＦの面積の

　３×３＋１９×３＝６６倍　です。

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