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2010年5月19日 (水)

和と差 第19問 (早稲田実業学校中等部 2008年(平成20年度) 受験問題 算数)

 

問題 (早稲田実業学校中等部 2008年 受験問題 算数)

     難易度★★★★

 

 1辺の長さが10cmの正方形4枚でできている図1のような

タイルA と、1辺の長さが10cmの正方形5枚でできている図2

のようなタイルBがあります。タイルAは1枚300円、タイルBは

1枚400円です。このとき、次の問に答えなさい。

   Pic_1472q

(1)タイルA だけを使って作ることのできる長方形のなかで、

   面積の一番小さいもののうち、長い方の辺の長さを答え

   なさい。

(2) (1)で作った長方形のタイルをC、タイルA とタイルBを

   それぞれ2枚ずつ使って作った長方形のタイルをDとし、

   CとDを組み合わせて、たて1.2m、横2.3mの長方形の

   床にすき間なくタイルをはりつけます。タイルA,Bがたくさん

   あるとき、かかる費用が一番安くなるのはA,Bそれぞれ

   何枚使うときですか。

(3) (2)のとき、A,Bがそれぞれ50枚ずつしかないとき、

   かかる費用が一番安くなるのは、いくらですか。 

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解答

 (1)タイルAだけを使って作ることのできる長方形の中で、

面積の一番小さいものは、タイルAを2枚使って作れる

下の図3のような長方形です。 

        Pic_1473a

図3の長い方の辺の長さは、10×4=40cmです。

 

 

 (2) 図3の長方形がタイルC で、1辺の長さが40cmと20cm、

値段は300×2=600円です。

 

タイルA2枚、タイルB2枚で作れる長方形Dの形は、下の図4の

ようになり、

     Pic_1474a_2

1辺の長さは、30cmと60cmで、値段は

 (300+400)×2=1400円です。

 

 たて120cm、よこ230cmの面積にタイルをしきつめるとき、

タイルの枚数は何通りか考えられそうですが、変わらないのは

その面積です。

 

 タイルをしきつめる面積は、120×230=27600c㎡ で、

タイルCの面積は、800c㎡、タイルDの面積は1800c㎡ なので、

タイルCを□枚、タイルDを○枚使うとすると、下の図5のように

考えることができます。

     Pic_1475a

すなわち、800×□+1800×○=27600 ということです。

この式をさらに簡単にすると、

 8×□+18×○=276 → 4×□+9×○=138 です。

この式にあてはまる(□、○)の整数の組を調べます。

 

 4×□+9×○=138 で、9×15=135なので、

○は15以下の整数で、式から○は偶数であることがわかります。

(奇数×奇数=奇数、4×□=偶数、奇数+偶数=奇数なので)

 

14,12,10,8,6,4,2 の場合について調べればよく、

 ○=14のとき、4×□=138-126=12より、□=3

 ○=12のとき、4×□=138-108=30より、不成立

 ○=10のとき、4×□=138-90=48より、□=12

 ○=8のとき、4×□=138-72=66より、不成立

 ○=6のとき、4×□=138-54=84より、□=21

 ○=4のとき、4×□=138-36=102より、不成立

 ○=2のとき、4×□=138-18=120より、□=30

 

 

タイルをしきつめられるのは、

 ①:C=3枚、D=14枚

 ②:C=12枚、D=10枚

 ③:C=21枚、D=6枚

 ④:C=30枚、D=2枚 

のときで、C:600円、D:1400円なので、それぞれの値段は、

 ①:3×600+14×1400=21400円

 ②:12×600+10×1400=21200円

 ③:21×600+6×1400=21000円

 ④:30×600+2×1400=20800円 

となり、200円ずつ安くなり、一番安くなるのは④のときで、

C(A2枚)が30枚、D(A2枚、B2枚)が2枚なので、

使われたタイルA,Bの枚数は、

 A:2×30+2×2=64枚

 B:2×2=4枚

となります。

 

 

 (3) A50枚、B50枚しかないとき、(2)の条件ではできません。

(2)の③、②、①の順(安い順)にA,Bの枚数を調べると、

 ③:Aは、21×2+2×6=54枚 → 作れない

 ②:Aは、12×2+2×10=44枚

   Bは、2×10=20枚 → 作れる

  

 よって、費用が一番安くなるのは、(2)の②のときで、

  21200円です。

 

 

 【関連問題

  和と差 (開成中学 2010年)

 

 早稲田実業学校中等部の過去問題集は → こちら

 早稲田実業学校中等部の他の問題は → こちら

 

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