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2010年4月13日 (火)

平面図形の角度 第42問 正九角形 (北嶺中学 2005年、学習院女子中等科 2010年 入試問題 算数)

 

問題 (北嶺中学 2005年、学習院女子中等科 2010年

     入試問題 算数) 難易度★★★★

 

 9つの辺の長さがすべて3cmで、9つの角度がすべて等しい

図1のような図形があります。

  Pic_1307q

(1)図1の角度Aの大きさを求めなさい。 (北嶺中学 2005年)

(2)図2は、図1の図形の各頂点を中心として、半径3cmの

   おうぎ形を描いたものです。このとき、青い線の長さを

   求めなさい。              

                    (学習院女子中等科 2010年)

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解答

 図1の図形は【正九角形】なので、下の図3のように

等しい9つの合同な二等辺三角形に分割することができます。 

  Pic_1308a

図3の角POQ=角QOR=360÷9=40度なので、

図3の●=(180-40)÷2=70度 より、

角度A=70+70=140度 です。

 

 (2)図2の青い線は、下の図4の緑の線を9本分の長さです。

よって、図4の角SPTの大きさが分かれば長さを求められます。

  Pic_1309a_2

図4の三角形PQSは、PQ=PS=3cmの二等辺三角形、

三角形RQSも、RQ=RS=3cmの二等辺三角形で、

2つの三角形は、QSが共通していることから、3辺の長さが

等しいので合同です。

 

角PQS+角RQS=角PQR  (1)より140度なので、

角PQS=角RQS=角PSQ=角RSQ=70度 です。

よって、角QPS=180-70×2=40度 です。

 

同様に、図4の角TPU=40度 となるので、

角SPT=角QPU-(角QPS+角TPU)

     =140-40×2=60度 とわかります。

 

ゆえに、求める線の長さは、

 3×2×3.14×60/360×9=28.26cm となります。

 

 

 北嶺中学の過去問題集は → こちら

 学習院女子中等科の過去問題集は → こちら

 

 北嶺中学の他の問題は → こちら

 学習院女子中等科の他の問題は → こちら

 

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