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2010年4月 9日 (金)

場合の数 第28問 ぬり分け (渋谷教育学園渋谷中学 2007年(平成19年度) 入試問題 算数)

 

問題 (渋谷教育学園渋谷中学 2007年 入試問題 算数)

     難易度★★★★

 

 立方体があり、各面に1~6までの番号が書かれています。

      Pic_1298q

この立方体の各面を6色の絵の具を用いて色付けしていきます。

1つの面には1つの色だけを使い、となり合う面(1と2、1と3など)

には異なる色の絵の具を用いるとき、次の問に答えなさい。

 

(1)使う絵の具の種類は、最も少ないとき何色ですか。

(2)色のぬり方は何通りありますか。

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解答

 サイコロのように、1の裏の面を6、2の裏を5、3の裏を4と考え、

 

 (1)最も少ないときは、向かい合った面同士を同じ色でぬった

とき(1-6、2-5、3-4)で、3色です。

 

 (2)まず、3色を用いるときは、

1-6面にぬる色・・・6通り

2-5面にぬる色・・・5通り(1-6面に使った色以外の5色)

3-4面にぬる色・・・4通り(1-6,2-5面に使った色以外の4色)

 を使えるので、6×5×4=120通り のぬり方があります。

 

 次に、4色を用いるときは、

1-6面、2-5面、3-4面のうちどれかを異なる色でぬることに

なります。

 

 3-4面を別々の色でぬると考えると、

  1-6面にぬる色・・・6通り

  2-5面にぬる色・・・5通り

  3面にぬる色・・・4通り

  4面にぬる色・・・3通り

 のようなぬり方があり、6×5×4×3=360通り のぬり方があり、

1-6面を別々の色でぬるとき、2-5面を別々の色でぬるときも

それぞれ360通り あるので、

 4色を用いるときは、360×31080通り のぬり方があります。

 

 次に、5色を用いるときは、

1-6面、2-5面、3-4面のどれか1つだけ同じ色にぬることに

なります。

 

1-6面だけ同じ色を用いるときは、

 1-6面・・・6通り

 2面・・・5通り

 3面・・・4通り

 4面・・・3通り

 5面・・・2通り

のぬり方があるので、6×5×4×3×2=720通り のぬり方が

あり、2-5面を同じ色にしたとき、3-4面を同じ色にしたときも、

それぞれ720通り のぬり方があるので、

 5色を用いるときは、720×32160通り のぬり方があります。

 

 最後に、6色すべてを用いるときは、

6×5×4×3×2×1720通り のぬり方があるので、

この立方体の色のぬり方は、

 120+1080+2160+7204080通り となります。

 

 

 渋谷教育学園渋谷中学の過去問題集は → こちら

 渋谷教育学園渋谷中学の他の問題は → こちら

 

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