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2010年4月14日 (水)

点の移動 第7問 (四天王寺中学 2007年(平成19年度) 算数入試問題)

 

問題 (四天王寺中学 2007年 算数入試問題) 難易度★★★★

 

円周上を点A,Bが移動します。円周を4等分する点あ、い、う、え

があり、点Aは地点「い」で1秒、地点「う」で2秒、地点「え」で3秒、

地点「あ」で4秒止まり、各地点間の移動には2秒かかります。

点Bは、どこにも止まることなく一定の速さで動きます。はじめに

点A,Bともに地点「あ」を出発し、点Aは左回りに、点Bは右回りに

動き出し、点Aがちょうど1周して地点「あ」に着いたときに点Bと

出会いました。このとき、次の問に答えなさい。

       Pic_0438   

(1)点Aと点Bが初めて出会うのは、地点「あ」を出発してから

   何秒後か答えなさい。

(2)点Aと点Bの速さの比は何対何ですか。

(3)3回目に点Aと点Bが出会うのは、地点「あ」を出発してから

   何秒後か答えなさい。

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解答

 (1)Aが1周するのにかかる時間は、

    2+1+2+2+2+3+2=14秒

です。よって、点Bは14秒かけて1周します。

 

単純に半分の地点でどうか調べると、出発して7秒後、点Aは

ちょうど地点「う」にいて、点Bも地点「う」にいるので、

初めて点Aと点Bが出会うのは 7秒後 です。

  

(2)点A,Bが地点「あ」から出発して1周するまでのグラフを

描いてみると、グラフ1のようになります。

Pic_0439_2

点Bは14秒で1周します。点Aが動いている時間は2×4=8秒

なので、速さの比 A : B は、1/8:1/14=14:8=7:4 です。

  

 (3)2周目は、まず点Aは地点「あ」で4秒止まったあとに

スタートします。その後をグラフにすると、グラフ2のようになります。

Pic_0440

グラフがあれば簡単に解けそうなので、グラフは参考として、

グラフが書けなかったとして解いてみると、

まず、点Aは18秒で地点「あ」を出発し、地点「い」に20秒で到着、

21秒で地点「い」を出発し、23秒で地点「う」に到着し、25秒で

地点「う」を出発します。

 

ここまで書き出し、次に点Bは14秒で1周するので、21秒で

地点「う」にくることがわかります。地点「い」には24.5秒です。

 

よって、点Aと点Bは地点「い」と地点「う」の間で出会うことが

わかります。 次に、いつ出会うのか、ですが、

点Aは21秒で地点「い」を出発し、点Bは21秒で地点「う」を

出発します。速さの比A:B=7:4で、

点Aは地点「い」→「う」を2秒、点Bは地点「う」→「い」を3.5秒で

移動するので、2点が出会うのは、

 点Aで計算すると、21+2×{7/(7+4)}=22と3/11秒後

 点Bで計算しても、21+3.5×{4/(7+4)}=22と3/11秒後

と求められます。

 

 

 四天王寺中学の過去問題集は → こちら

 四天王寺中学の他の問題は → こちら

 

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