混ぜた食塩水の濃度の求め方 －面積図と天秤算（てんびん算）－

問題　

　ビーカー①に入ったａ ％の食塩水 Ｘ ｇ と、ビーカー②に入った

ｂ ％の食塩水 Ｙ ｇ を混ぜて、□％の食塩水になったとき、□％の

求め方を答えなさい。

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解説

　ａ ％の食塩水 Ｘ ｇ と、ｂ ％の食塩水 Ｙ ｇ を混ぜると□％の

食塩水になったとき、食塩の量の様子を、面積図を用いて表すと、

下の図１のようになります。

２つの食塩水を混ぜるので、□％は、ａ ％とｂ ％の間になります。　

図１のように、ａ ％と□％の間をＡ、ｂ ％と□％の間をＢ とします。

　　（たとえば、５％と１０％の食塩水を混ぜて７％になったとき、

　　　Ａ＝２，Ｂ＝３ となります。）

２つの食塩水を混ぜても、全体の食塩の量は変わらないので、

図１の緑の部分（Ｙｇの食塩水の食塩をＢ：□に分けた量）と

図１の青い部分（Ｘｇの食塩水の食塩とａ：Ａの比の量）が

等しくなる（移動して釣り合う）イメージとなります。

　よって、Ｙ×Ｂ×１００＝Ｘ×Ａ×１００ となります。

Ｙ×Ｂ＝Ｘ×Ａ という式は、比の式に直すことができ、

Ａ：Ｂ＝Ｙ：Ｘ という比が現れます。（内項の積＝外項の積）

　すると、下の図２のようになります。

すなわち、□％は、ｂ ％とａ ％の差をＸ：Ｙに分けたところ と

なります。

　【たとえば、５％の食塩水２００ｇと１０％の食塩水３００ｇを混ぜると

　 ２つの濃度の差は５％で、２００：３００＝２：３なので、

５％（２つのうち濃度の低い方）＋｛５％（２つの濃度の差）÷（２＋３）

×３（濃度の高い方の食塩水の比）｝＝８％の食塩水となります。】

　図２の食塩の量の釣り合いを天秤（てんびん）を用いて表すのが

【天秤算】と呼ばれるもので、図２を横から見て図３のように表し、

　　　　　　　　　　　

Ｘ×Ａ＝Ｙ×Ｂ を利用することで、濃度に関する問題を楽に

解くことができるようになります。

　【天秤算の利用～てんびんを描いて解いてみよう】

＜例題＞

２％の食塩水Ａｇと、８％の食塩水Ｂｇを混ぜると、

６％の食塩水６００ｇになりました。ＡとＢを求めなさい。

＜解答＞

　天秤図を描くと、下の図４のようになります。

　　　　　　　　　　　　　

Ａｇ＋Ｂｇ＝６００ｇ で、図４よりＡ：Ｂ＝２：４＝１：２とわかるので、

Ａ＝２００ｇ、Ｂ＝４００ｇ とわかります。

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