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2010年3月24日 (水)

規則性の問題 図形 第9問 (早稲田実業中等部 2010年(平成22年度) 入試問題 算数)

 

問題 (早稲田実業中等部 2010年 入試問題 算数) 

     難易度★★★

 Pic_1217q

 上の図のように同じ大きさの円を重ねて描いていきます。

円の中の数字は、その円が接している円の数を表します。

このとき、次の問に答えなさい。

 

 (1)5段目まで描いたとき、書かれている数をすべて足すと

    いくらになりますか。

 (2)ある段まで円を描いて、「4」の数が書かれた円を数えると

    87個ありました。このとき「6」の数が書かれた円は何個

    ありますか。

 (3)ある段まで円を描いて、「6」の数が書かれた円を数えると

    4950個ありました。このとき描いた円は何段目までですか。

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解答

 (1)5段目まで描くと、下の図1のようになります。

        Pic_1218a

描かれた円は、大きな三角形と見ることができ、書かれる数は、

 「2」が書かれるのは3つの頂点の3個

 「4」が書かれるのは辺の部分。□段目のとき、(□-2)×3個

 「6」が書かれるのは内部の部分。

     □段目のとき、1+2+…(□-3)個

という性質であることがわかります。

円は最も多くても「6」個の円としか接しません。

 

よって、5段目まで描いたとき、書かれている数の和は、

2×3+4×(5-2)×3+6×(1+2)=60 です。

  

 (2)「4」が書かれた円が87個あるということは、下の図2のように

     Pic_1219a

1辺に87÷3=29個の「4」が書かれた円があるということで、

そのとき、「6」の書かれた円は、

 1+2+3+・・・+28=(1+28)×28÷2=406個

あることになります。

 

 (3)「6」が書かれた円が4950個あるということは、

1+2+3+・・・+□=4950個 ということなので、

(1+□)×□÷2=4950 で、

(1+□)×□=9900 なので、99×100=9900より、

□=99 とわかります。

 

このとき、描かれた円は、図2を参考にすると、

 99+3=102段目までとわかります。

 

 

 早稲田実業学校中等部の過去問題集は → こちら

 早稲田実業中等部の他の問題は → こちら

 

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