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2010年3月25日 (木)

立体図形の展開図 第22問 (渋谷教育学園幕張中学 2010年(平成22年度) 受験問題 算数)

 

問題 (渋谷教育学園幕張中学 2010年 受験問題 算数)

     難易度★★★★

 

 図1で、アは正三角形で、その辺の長さは1辺が2cmの

正方形の対角線の長さと同じです。三角形イは2辺の長さが

2cmの直角二等辺三角形です。

 図2は、ある立体の展開図の一部です。

 Pic_1222q

 以下の問に答えなさい。

 

(1)図2の展開図にアかイのどちらか一方を1個書き加えると

   展開図は完成します。どちらを加えればよいか記号で答え

   なさい。

(2)コンパスと定規を用いて、(1)で選んだ三角形を図2の

   展開図の適当な位置に書きなさい。

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解答

 (1)図2の展開図を元に考えると、展開図なので、辺同士を

つなぎ合わせることで、立体が完成していきます。図3のように

2つの辺同士をペアにしてみると、

   Pic_1223a_2

AB,AI,IHが3個(奇数)なので、どれかが余ることに気づきます。

(直感的にAIとIHは、つなぎ合わさることが想像できますが、

検証してみます。)

 

AI、IH上に三角形ア、イが加わると、下の図4,5のようになり、

Pic_1224a

図4では、AIとPIはつながりますが、さらにABとPHをつなげると

立体にならなくなってしまいます。

 

図5では、AIとQIがつながりません。

 

よって、AB,AI,IHのうち、三角形を付け加える必要があるのは

ABということになります。

 

では、辺ABに加える三角形は、アとイのどちらなのかを調べると

アを加えた場合、下の図6のように

Pic_1225a

つなぎ合わせる辺がありません。

よって、つなげる三角形は「」となります。

 

 

 <別解>

図3で、AB,AI,IHに正三角形アを加えて、同じ長さの辺の数を

偶数にしても、うまくいかないことがわかった時点で

他に正三角形アを加えることのできる辺はないので、

加える三角形は、であることがわかります。 

 

 

 (2)辺ABに直角二等辺三角形イを描くには、図7のように、

① 角AIBの角の2等分線を作るため、頂点A,Bを中心に

   等しい長さの弧を描きます。

② 角の2等分線を描きます。

③ できる直角二等辺三角形ABRのBR=BCなので、頂点Bを

   中心として、半径BCの弧を描きます。

④ ②の直線と③の弧の交点が点Rで、直角二等辺三角形ABR

   の完成です。

Pic_1226a

 なお、完成した展開図を組み立てると、下の図8のような立体に

なります。

Pic_1227a

 

 

 渋谷教育学園幕張中学の過去問題集は → こちら

 渋谷教育学園幕張中学の他の問題は → こちら

 

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